Analyse av rasjonale funksjoner

Som eksempel skal vi drøfte den rasjonale funksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}$

Definisjonsmengde

Når $x=1$, blir nevneren null. Funksjonen er ikke definert for $x=1$. Da kan vi skrive

$D_f=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

Asymptoter

Vertikal asymptote

Linjen $x=a$ er en vertikal asymptote hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for $x=a$.

For $x=1$ blir telleren lik $3·x=3·1=3$, og nevneren blir $x-1=1-1=0$.

Det betyr at $x=1$ er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja $y=a$ er en horisontal asymptote for en funksjon f dersom $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=a$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & = & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3\cancel{x}}}{{\displaystyle \cancel{x}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \cancel{x}}}{{\displaystyle \cancel{x}}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 1-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 1-0}}}=3\end{array}$

Det betyr at $y=3$ er horisontal asymptote.

Dersom funksjonen vi undersøker, har teller av høyere grad enn nevner, kan funksjonen ha en asymptote som er avhengig av x. Da kaller vi ofte asymptoten for en asymptotefunksjon. Du kan lese om asymptotefunksjoner på teorisiden "Rasjonale funksjoner, horisontal asymptote og asymptotefunksjon".

Verdimengde

Når $y=3$ er horisontal asymptote for funksjonen $f$, betyr det at funksjonen kan ha alle funksjonsverdier unntatt 3. Verdimengden er derfor

$V_f=ℝ\backslash \left\{3\right\}$

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til $f\text{'}\left(x\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \left(3x\right)\text{'}·\left(x-1\right)-3x·\left(x-1\right)\text{'}}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·\left(x-1\right)-3x·1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle -3}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}$

Nevneren ${\left(x-1\right)}^2$ er alltid positiv, og telleren er alltid negativ.

Det betyr at grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter.

Dersom grafen til funksjonen vi undersøker har en asymptotefunksjon, kan funksjonen ha ekstremalpunkter.

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \left(-3\right)\text{'}·{\left(x-1\right)}^2-\left(-3\right)\left({\left(x-1\right)}^2\right)\text{'}}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^4}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·2\left(x-1\right)}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^4}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^3}}}$

Nevneren ${\left(x-1\right)}^3$ er negativ for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og positiv for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnslinje for $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$:

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen vender sin hule side ned for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og sin hule side opp for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Et eventuelt vendepunkt måtte vært for $x=1$, men for denne verdi er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Skjæringspunkt mellom grafen og koordinataksene

Det kan også være nyttig å ta med eventuelle skjæringspunkt med koordinataksene i drøftingen.

Skjæring med y-aksen

$f\left(0\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·0}}{{\displaystyle 0-1}}}=0$

Skjæring med x-aksen (nullpunkter)

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ {\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å tegne en skisse av grafen for hånd. (Grafen er tegnet i GeoGebra.)

Film: Rasjonale funksjoner og asymptoter

I filmen under (lengde 7:55) får du en gjennomgang av rasjonale funksjoner og asymptoter.