Å uttrykkje ein vektor på fleire måtar

Å uttrykkje ein vektor som ein sum av andre vektorar

Vi ønskjer å uttrykkje vektoren $\overrightarrow{AM}$ ved hjelp av vektorane $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
M er midtpunktet på $BC$. Sjå figuren.

Vektoren $\overrightarrow{AM}$ kan uttrykkjast på to måtar:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ og$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$

Vektorane $\overrightarrow{BM}$ og $\overrightarrow{CM}$ er like lange og motsett retta. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}2·\overrightarrow{AM}& = & \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\\ & & \\ 2·\overrightarrow{AM}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BM}\\ & & \\ 2·\overrightarrow{AM}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\ & & \\ \overrightarrow{AM}& =& \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{array}$

Å bruke basisvektorar

Mange geometriske problemstillingar kan løysast ved å uttrykkje ein vektor på to ulike måtar. Vi «følgjer to vegar» for å komme frå utgangspunkt til endepunkt.

Det vi eigentleg har gjort i dømet over, er å dekomponere $\overrightarrow{AM}$ ved hjelp av $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$. I nokre tilfelle kan det bli ryddigare om vi gir namn til vektorane vi bruker som basisvektorar. Vi skal bruke dette for å bevise ei viktig setning frå geometrien, nemleg mediansetninga.

Bevis for mediansetninga

Ein median i ein trekant er eit linjestykke som går frå eit hjørne til midtpunktet på den motståande sida (sjå biletet under)

Mediansetninga om trekantar lyder slik:

Vi skal gjere beviset for mediansetninga i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjeringspunktet S mellom $A{M}_2$ og $B{M}_3$ deler dei to linjestykka i forholdet 2 : 1. Så (trinn 2) skal vi vise at S òg ligg på linjestykket $C{M}_1$ og deler dette i det same forholdet.

Trinn 1:

På trekanten har vi sett $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. Då får vi at $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$.

Vi startar med å uttrykkje vektoren $\overrightarrow{AS}$ på to ulike måtar ved hjelp av desse vektorane.

Først går vi direkte frå A til S. Vi veit at $\overrightarrow{AS}$ er parallell med $\overrightarrow{A{M}_2}$, derfor kan vi skrive $\overrightarrow{AS}=k·\overrightarrow{A{M}_2}$:
$\overrightarrow{AS}=k·\overrightarrow{A{M}_2}=k·\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=k·\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right)=\frac{1}{2}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{b}$

Så vel vi vegen om B og får at:
$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{B{M}_3}=\overrightarrow{a}+t\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{a}+t\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=\left(1-t\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{b}$

Desse to uttrykka beskriv den same vektoren og må altså vere like. Vi set dei lik kvarandre og løyser likningssettet vi no får:

$\begin{array}{rclc}\frac{1}{2}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{b}& =& \left(1-t\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{b}& \\ & \Updownarrow & & \\ \frac{1}{2}k=1-t& \wedge & \frac{1}{2}k=\frac{1}{2}t& \\ & \Updownarrow & & \\ \frac{1}{2}t=1-t& \wedge & k=t& \\ & \Updownarrow & & \\ t=\frac{2}{3}& \wedge & k=\frac{2}{3}& \end{array}$

Første trinn i beviset er no ferdig – vi har vist at skjeringspunktet mellom to av medianane deler begge desse medianane i forholdet 2 : 1.

Trinn 2:

No skal vi vise at S òg ligg på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette inneber å vise at $\overrightarrow{CS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C{M}_1}$.

Vi startar med å uttrykkje dei to vektorane ved hjelp av basisvektorane:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AS}=-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}·\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\frac{2}{3}\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{C{M}_1}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\end{array}$

Ved å rekne ut forholdet mellom koeffisientane til $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ kan vi fullføre beviset:

$\begin{array}{lll}\frac{\frac{1}{3}\overrightarrow{a}}{\frac{1}{2}\overrightarrow{a}}=\frac{2}{3}& & \frac{-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}}{-\overrightarrow{b}}=\frac{2}{3}\\ \overrightarrow{CS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C{M}_1}& & \end{array}$

Vi har no, ved hjelp av å uttrykkje ein vektor på to måtar, bevist både at alle medianane i trekanten kryssar kvarandre i eitt og same punkt, og at dette punktet deler alle medianane i forholdet 2 : 1.