Fagstoff

Vinklar

Ein vinkel er et mål på korleis to linjer ligg i forhold til kvarandre. Til dømes er takvinkelen i ein takstol eit mål på korleis overgurten ligg i forhold til undergurten.

Grunnleggande om vinklar

To strålar startar frå det same punktet, kalla toppunktet. Strålen til høgre sett frå toppunktet er kalla høgre vinkelbein, strålen til venstre er kalla venstre vinkelbein. Vinkelen er kalla v. Illustrasjon.

Ein rett vinkel med påskrifta v er lik 90 gradar. Illustrasjon.

Ein vinkel måler gapet mellom to vinkelbein. På figuren har vi kalla vinkelen v. Sett ifrå toppunktet der vinkelbeina møtest, blir høgre vinkelbein det vassrette vinkelbeinet.

Vi måler vinkelen i gradar og skriv ein liten sirkel oppe til høgre bak talet. Dersom vinkel v er 30 gradar, skriv vi $v = 30°$ . Vi kan måle vinklar på ei teikning med ein vinkelmålar, òg kalla gradskive.

Dersom det eine vinkelbeinet er vassrett og det andre loddrett, er storleiken på vinkelen 90 gradar, sjå figuren. Vi kallar dette ein rett vinkel og markerer det ved å teikne to rette linjer i staden for ein vinkelboge. Vi seier i tillegg at vinkelbeina står vinkelrett på kvarandre.

🤔 Tenk over: Kor mange gradar får vi dersom vi går heile runden rundt?

Forklaring

Ein heil runde består av 4 rette vinklar og blir

$4 \cdot 90 ° = 360 °$

Dette er akkurat som om du tek eit 360-hopp: Da spinn du éin runde rundt.

Toppvinklar

To linjer skjer kvarandre. Dei fire vinklane som blir danna, er u, v, w og z. Figuren viser at u og v er spisse vinklar, mens w og z er stumpe vinklar. Illustrasjon.

Når to linjer skjer kvarandre, er to og to av dei fire vinklane som blir danna, alltid like store. Sjå figuren. Det betyr at

$u = v$ og $w = z$

Samsvarande vinklar

To parallelle linjer m og n blir begge skorne av ei tredje linje l. Vinkelen u har m som høgre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til u heiter v. Vinkelen w har n som høgre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til w heiter z. Illustrasjon.

På figuren er u og w samsvarande vinklar fordi eitt av vinkelbein (linja l) er felles. Linja l er venstre vinkelbein i både u og v. I tillegg er høgre vinkelbein i vinklane, linjene m og n, parallelle. Då har vi at

$u = w$

🤔 Tenk over: Er vinklane v og z like store òg? Kvifor/kvifor ikkje?

Forklaring

v og z er like store fordi dei òg er samsvarande vinklar med parallelle vinkelbein.

Vi kan òg bruke at v er toppvinkel med u, og z er toppvinkel med w. Sidan u og w er like store, må v og z òg vere like store fordi toppvinklar er like store.

Takvinkel

Teikninga viser ein enkel takstol med ein undergurt og to overgurtar. Det er teikna ein vinkel rett utanfor takstolen, og på den vinkelen står det 27 gradar. Fire vinklar, A, B, C og D, er markerte på takstolen. Ei loddrett stipla linje går frå toppen av opninga i takstolen ned til midt på undergurten. Illustrasjon.

I ein takstol er takvinkelen vinkelen mellom undergurten og overgurten. Figuren over viser ein enkel takstol der takvinkelen er gitt til 27 gradar. (Legg merke til måten takvinkelen er gitt på.) I tillegg er fire vinklar, A, B, C og D, markerte på figuren. Vi må ha kontroll på desse vinklane for å få stilt inn vinkelen på saga riktig når vi skal skråkappe dei tre delane takstolen består av.

🤔 Tenk over: Kva for ein eller kva for nokre av dei fire vinklane er lik takvinkelen?

Løysing

Både A og B markerer vinkelen mellom undergurten og overgurten. A og B er samsvarande vinklar fordi eitt av vinkelbeina i dei to vinklane er felles (undersida av overgurten). Når dei to andre vinkelbeina er parallelle (over- og undersida av undergurten), har vi derfor at

$A = B = 27 °$

Komplementvinklar

🤔 Tenk over: Kor store er vinklane C og D i takstolen over?

Først slår vi fast at vinklane C og D er like store. Det er fordi dei har eitt vinkelbein felles – dei er samsvarande vinklar – og dei to andre vinkelbeina er parallelle (over- og undersida av overgurten). Halve opninga i takstolen har form som ein rettvinkla trekant. Vinkel B og vinkel D er to av vinklane i den venstre halvdelen. Den tredje vinkelen er 90 gradar.

Kan du regelen nedanfor frå før?

Summen av vinklane i ein trekant er 180 gradar.

Denne regelen kan vi bruke til å berekne vinkel D. Dersom vinkelsummen skal vere 180 gradar og den eine vinkelen er 90 gradar, er det igjen $180 ° - 90 ° = 90 °$ til vinkel B og D. Og når vinkel B er 27°, får vi at

$D = 90 ° - B = 90 ° - 27 ° = 63 °$

Matematisk kan vi derfor skrive at

$B + D = 90 °$

Generelt vil vi ha at summen av dei to vinklane som ikkje er rette i ein rettvinkla trekant, er 90 gradar. Slike vinklar kallar vi komplementvinklar. Her er derfor vinklane B og D komplementvinklar.

Definisjon av komplementvinklar

To linjestykke startar i det same punktet. Linjestykka står vinkelrett på kvarandre. Eit linjestykke deler den rette vinkelen i to ulike vinklar. Den minste av desse er kalla u, den andre v. Illustrasjon.

Når summen av to vinklar er 90 gradar, kallar vi vinklane komplementvinklar.

På figuren har vi at

$u + v = 90 °$

u og v er derfor komplementvinklar.

Dei to vinklane som ikkje er 90 gradar i ein rettvinkla trekant, er komplementvinklar. Komplementvinklar treng derfor ikkje stå ved sida av kvarandre slik som u og v på figuren for å vere komplementvinklar.