Oppgåve

Vinklar

Her kan du øve med oppgåver om vinklar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Finn vinkelen v på figurane.

Figur som viser ein vinkel v der vinkelmarkeringa består av to rette linjer som står vinkelrett på kvarandre. Illustrasjon.

Løysing

Markeringa av vinkelen betyr at dei to vinkelbeina står vinkelrett på kvarandre, som igjen betyr at vinkel v er 90 gradar.

Figur som viser to blå linjer som står vinkelrett på kvarandre. Den rette vinkelen blir delt i to vinklar av ein svart stråle. Den eine av dei to vinklane er 30 gradar. Den andre har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Sidan den svarte strålen deler ein vinkel på 90 gradar i to delar, er dei to delane komplementvinklar sidan summen av dei er 90 gradar. Då får vi at

$v = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Løysing

Sidan den svarte strålen deler ein vinkel på 90 gradar i to delar, er dei to delane komplementvinklar sidan summen av dei er 90 gradar. Då får vi at

$v = 90 ° - 57 ° = 33 °$

Midt på eit linjestykke startar ein stråle. Strålen dannar vinkelen 131 gradar med høgre ende av linjestykket, mens vinkelen mellom strålen og venstre ende av linjestykket har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Summen av dei to vinklane på figuren må vere det dobbelte av 90 gradar, det vil seie 180 gradar. Då får vi at

$v = 180 ° - 131 ° = 49 °$

Midt på eit linjestykke startar ein stråle. Strålen dannar vinkelen 101 gradar med venstre ende av linjestykket, mens vinkelen mellom strålen og høgre ende av linjestykket har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Summen av dei to vinklane på figuren må vere det dobbelte av 90 gradar, det vil seie 180 gradar. Då får vi at

$v = 180 ° - 101 ° = 79 °$

To linjestykke møtest i eit punkt. Den minste vinkelen mellom linjestykkene er gitt til 42 gradar, mens den motsette vinkelen, vinkelen som går rundt den andre vegen, har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Sidan dei to vinklane til saman spenner over ein heil sirkel på 360 gradar, får vi at

$v = 360 ° - 42 ° = 318 °$

Oppgåve 2

a) Finn dei ukjende vinklane v, w, og z på figuren.

To linjer skjer kvarandre. Den minste vinkelen på høgre side av skjeringspunktet er 28 gradar. Den tilsvarande vinkelen på motsett side har namnet v. Dei to andre vinklane har namna w og z. Illustrasjon.

Løysing

Vinkel v og den gitte vinkelen på 28 gradar er toppvinklar og dermed like.

$v = 28 °$

Summen av vinklane v og w er 180°. Og sidan vinklane w og z òg er toppvinklar, får vi at

$w = z = 180 ° - v = 180 ° - 28 ° = 152 °$

b) Finn dei ukjende vinklane u, v, og w på figuren.

To linjer skjer kvarandre. Den største vinkelen mellom linjene er 139 gradar. Den tilsvarande vinkelen på motsett side har namnet w. Dei to andre vinklane har namna u og v. Illustrasjon.

Løysing

Vinkel w og den gitte vinkelen på 139 gradar er toppvinklar og dermed like.

$w = 139 °$

Summen av vinklane u og w er 180°. Og sidan vinklane u og v òg er toppvinklar, får vi at

$u = v = 180 ° - w = 180 ° - 139 ° = 41 °$

c) Finn vinkel v når linjene m og n er parallelle.

To parallelle linjer m og n blir begge skorne av ei tredje linje l. Vinkelen v har linja l som høgre vinkelbein og m som venstre. Vinkelen som har l som høgre vinkelbein og n som venstre, er 131,5 gradar. Illustrasjon.

Løysing

Den gitte vinkelen og vinkel v er samsvarande vinklar, og når linjene m og n er parallelle, får vi at

$v = 131, 5 °$

d) Finn dei ukjende vinklane u, v, og w når linjene m og n er parallelle.

To parallelle linjer m og n er begge skorne av ei tredje linje l. Vinkelen u har m som høgre vinkelbein og l som venstre. Vinkelen v har linja l som høgre vinkelbein og m som venstre. Vinkelen w har n som høgre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til w er 51 gradar. Illustrasjon.

Løysing

Den gitte vinkelen og vinkel w er toppvinklar. Då er

$w = 51 °$

Vinklane u og w er samsvarande vinklar, og når linjene m og n er parallelle, får vi at

$u = w = 51 °$

Summen av vinkel u og vinkel v er 180 gradar. Det gir at

$v = 180 ° - u = 180 ° - 51 ° = 129 °$

Oppgåve 3

a) Finn vinkel v.

I ein rettvinkla trekant er den andre vinkelen 65 gradar, og den tredje har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Sidan trekanten er rettvinkla, må summen av dei to andre vinklane vere 90°. Dette gir at

$v = 90 ° - 65 ° = 25 °$

b) Finn vinkel v.

I ein rettvinkla trekant er den andre vinkelen 56 gradar, og den tredje har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Sidan trekanten er rettvinkla, må summen av dei to andre vinklane vere 90°. Dette gir at

$v = 90 ° - 56 ° = 34 °$

c) Finn dei ukjende vinklane u, v, og w.

Figur som viser eit rektangel der den eine diagonalen er teikna inn. Diagonalen deler to av hjørna i to ulike vinklar. I den eine enden er den eine av vinklane 61 gradar, og den andre heiter u. I den andre enden er vinkelen med namnet v i same halvpart som den gitte vinkelen. Den andre har namnet w. Illustrasjon.

Løysing

Vinkel u og den gitte vinkelen er komplementvinklar. Det gir at

$u = 90 ° - 61 ° = 29 °$

Vinkel v er òg komplementvinkel til den gitte vinkelen sidan han er den tredje vinkelen i den rettvinkla trekanten som er halvparten av rektangelet. Dette gir at

$v = u = 29 °$

Vinklane w og v er komplementvinklar. Det betyr at v er komplementvinkelen til komplementvinkelen til den gitte vinkelen, altså lik den gitte vinkelen.

$w = 61 °$

d) Figuren viser ei teikning av reisverket i ein skråvegg. Finn den ukjende vinkelen v i skråveggen.

Teikning av reisverket i ein skråvegg. Vinkelen mellom toppsvillen og vassrett linje er 32 gradar. Vinkelen mellom standaren lengst til høgre og toppsvillen har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

Den øvste delen av skråveggen dannar ein rettvinkla trekant der den eine vinkelen er 32 gradar. Vinkel v er komplementvinkel til denne og blir derfor

$v = 90 ° - 32 ° = 58 °$

e) Finn den ukjende vinkelen v i takstolen.

Teikning som viser ein takstol der takvinkelen er 29 gradar. Ein rettvinkla trekant er teikna inn slik at hjørnet med den rette vinkelen ligg på toppen av undergurten rett under toppunktet på takstolen, som er det andre hjørnet. Det tredje hjørnet i trekanten ligg i enden av undergurten. Vinkelen mellom overgurten og den loddrette linja har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

I ein rettvinkla trekant er vinkelen mellom hypotenusen og den vassrette kateten 29 gradar. Vinkelen mellom hypotenusen og den loddrette kateten har namnet v. Illustrasjon.

Takvinkelen er gitt til 29 gradar. Sidan vinkel v er komplementvinkel til takvinkelen, får vi at

$v = 90 ° - 29 ° = 61 °$

f) Under er ei teikning av ein takstol med overgurtar og undergurt. Finn den ukjende vinkelen v i takstolen nedanfor.

I ein takstol er takvinkelen gitt til 36 gradar. Dei to overgurtane og undergurten er markerte. Vinkelen øvst i opninga i takstolen mellom dei to overgurtane har namnet v. Illustrasjon.

Løysing

I ein rettvinkla trekant er vinkelen mellom hypotenusen og den vassrette kateten 36 gradar. Vinkelen mellom hypotenusen og den loddrette kateten har nemninga v delt på 2. Illustrasjon.

Halve opninga i takstolen er ein rettvinkla trekant der takvinkelen er den eine vinkelen som ikkje er 90 gradar. Den andre vinkelen må vere halvparten av vinkel v, det vil seie $\frac{v}{2}$ . Dette gir at

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 36 ° = 54 ° \\ v & = & 54 ° \cdot 2 = 108 ° \end{array}$

g) Biletet viser ein modell av ei pipe som er i ferd med å få beslag. Finn dei ukjende vinklane u og v (knekkvinklane for beslaget) på figuren når takvinkelen er 26 gradar.

Figur som viser ein modell av ei pipe på eit skråtak. På nedsida av pipa er det lagt beslag. Vinkelen mellom taket og pipa på oversida har namnet u og på nedsida namnet v. Foto.

Løysing

Nedanfor har vi teikna ein figur for å få betre oversikt over vinklane.

Ei rett linje går på skrå. Vinkelen mellom linja og vassrett retning er 26 grader. Den minste vinkelen mellom loddrett retning og linja har namnet u. Den største vinkelen mellom loddrett retning og linja har namnet v. Illustrasjon.

Takvinkelen på 26 gradar og vinkel u er komplementvinklar. Det betyr at

$u = 90 ° - 26 ° = 64 °$

Vinklane u og v spenner over ein halv sirkel til saman. Ein halv sirkel er 180°. Då får vi at

$v = 180 ° - u = 180 ° - 64 ° = 116 °$

Oppgåve 4

Under er ei teikning av ein takstol med overgurtar og undergurt.

Teikning som viser ein enkel takstol med ein undergurt og to overgurtar. Takvinkelen er 31 gradar. Fire vinklar, A, B, C og D, er markerte på takstolen. Ei loddrett stipla linje går frå toppen av opninga i takstolen ned til midt på undergurten. Illustrasjon.

a) Kva er takvinkelen?

Løysing

Takvinkelen er gitt til 31 gradar.

b) Kor store er vinklane A, B, C og D? Grunngi svara.

Løysing

Både vinkel A og B markerer takvinkelen og er derfor 31 gradar. Vinkel C og D må vere like fordi dei er samsvarande vinklar sidan begge har den same loddrette linja som venstre vinkelbein og parallelle linjer som høgre vinkelbein (oversida og undersida av overgurten).

Saman med vinkel B dannar vinkel D ein rettvinkla trekant. Vinklane B og D er derfor komplementvinklar, og vi får

$C = D = 90 ° - B = 90 ° - 31 ° = 59 °$

c) Under er den same overgurten frå ein annan vinkel.

Figur som viser ein planke som er rettkappa i venstre ende og skråkappa i høgre ende, slik at kuttflata dannar vinkelen C med lengderetninga av planken. Illustrasjon.

Når du skal kappe den høgre enden av overgurten, må saga stillast inn på ein annan vinkel enn vinkel C. Forklar kvifor, og bruk ordet "komplementvinklar" i forklaringa di.

Teikn òg ein figur som viser samanhengen mellom kappvinkelen og vinkel C, og bestem kappvinkelen.

Løysing

Teikning av den skråkappa enden av ein overgurt. Enden dannar ein rettvinkla trekant der vinkel C er den spisse enden av overgurten. Den andre vinkelen i trekanten er 31 gradar. Illustrasjon.

Vi har frå oppgåve b) at vinkel C er 59 gradar. Stiller vi saga på det, blir kappinga altfor skrå. Det er fordi at på saga måler vi ikkje vinkel C, men vinkelen i forhold til ein rettkappa planke, sjå figuren.

Denne vinkelen er komplementvinkelen til vinkel C og blir derfor lik takvinkelen, det vil seie 31 gradar. Så saga må stillast på 31 gradar for skråkappinga av overgurten.

d) Kva for ein vinkel må vi stille inn saga på når vi skal kappe undergurten eller tilhøyrande liggande kledning?

Løysing

Vi må gjere tilsvarande som ved kapping av overgurten. Det betyr at saga må stillast på komplementvinkelen til vinkel A, det vil seie 63 gradar.

Oppgåve 5

Dette er ei praktisk oppgåve som skal gjerast på byggverkstaden.

Figur som viser ein enkel takstol med to overgurtar med lengde 1000 millimeter og ein innfelt undergurt der lengda av oversida av undergurten er 586 millimeter. Takvinkelen er 35 gradar. Breidda av materialane er 148 millimeter. Illustrasjon.

Til læraren

Takstolen kan òg til dømes byggast i halv målestokk, eller det kan brukast andre materialar. Elevane må finne ut kva for ein vinkel saga skal stillast på, før dei kappar. Dersom elevane har vore gjennom trigonometri, kan dei til dømes bli utfordra på å rekne ut kor lang undersida av undergurten skal vere.

Til denne oppgåva treng du

materialar: $148 \times 48$ mm
skruar til montering
meterstokk
skrutrekkar
kappsag

a) Lag kappliste. Lista skal vise vinklane som overgurtane og undergurten skal kappast i, og kva for vinklar saga skal stillast inn på.

Løysing

Som i den førre oppgåva skal saga stillast inn på takvinkelen, det vil seie 35 gradar, når overgurtane skal skråkappast. På undergurten må saga stillast inn på komplementvinkelen, det vil seie

$90 ° - 35 ° = 55 °$

Kappliste
	Antal	Lengde, mm	Kappvinklar
Undergurt	1	586*	55°
Overgurt	2	1 000	0°, 35°

*Undergurten må skråkappast "utover" sidan det gitte målet på undergurten er på den kortaste sida av han.

b) Kapp til dei tre delane og monter saman takstolen.

c) Kva blir vinkelen i toppen av opninga i takstolen?

Løysing

Vi kallar no vinkelen øvst i opninga i takstolen for v. Halve opninga i takstolen er ein rettvinkla trekant der takvinkelen er den eine vinkelen som ikkje er 90 gradar. Den andre vinkelen må vere halvparten av vinkel v, $\frac{v}{2}$ . Dette gir at

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 35 ° = 55 ° \\ v & = & 55 ° \cdot 2 = 110 ° \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 35 ° = 55 ° \\ \frac{v}{2} & = & 90 - 35 ° = 55 ° \\ v & = & 55 ° \cdot 2 = 110 ° \\ v & = & 55 \cdot 2 = 110 \end{array}$

Arbeidsteikning, takstol(DOCX)

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Vinklar(DOCX)
Vinklar(PDF)

Grunnleggjande omgrep og måleiningar

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Nedlastbare filer