Skjæring og vinkel mellom linje og plan

Vi ønsker å finne hvor linja $$ l$$ gitt som

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=5t\\ z=2-t\end{array}\right.$$

skjærer $$ xy$$-planet.

Tenk over

Hva er likningen for $$ xy$$-planet?

Skjæringspunktet

Siden skjæringspunktet må oppfylle kravet $$ z=0$$, kan vi finne hvilken verdi for parameteren $$ t$$ i parameterframstillingen til $$ l$$ som gir at $$ z=0$$.

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 2-t & =& 0\\ t & =& 2\end{array}$$

Så kan vi regne ut de to andre koordinatene.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 4-t=4-2=2\\ y & =& 5t=5·2=10\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom linja $$ l$$ og $$ xy$$-planet er $$ \left(2,10,0\right)$$.

For å finne skjæringspunktet mellom linja og de to andre koordinatplanene gjør vi tilsvarende ved å bruke at i $$ xz$$-planet er $$ y$$-koordinaten lik 0, mens i $$ yz$$-planet er $$ x$$-koordinaten lik 0.

Vi ønsker å finne en framgangsmåte for å finne skjæringspunktet mellom et generelt plan og ei linje.

Eksempel

Vi skal finne skjæringspunktet mellom linja $l$ og planet $\beta$ gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}l: \{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=6+2t\\ z=1-5t\end{array} \beta : 2x+3y-z-1 & =& 0\end{array}$$

Løsning uten hjelpemidler

For hånd må vi først finne den verdien for linjeparameteren $t$ som gir det punktet på $l$ som har koordinater som passer i likningen for $\beta$. Det får vi til ved å sette uttrykkene for koordinatene i definisjonen til linja inn i planlikningen. Det betyr at vi erstatter $$ x$$ i planlikningen med $$ 5+t$$ og gjør tilsvarende med $$ y$$ og $$ z$$. Vi kan si at vi setter parameterframstillingen for $$ l$$ inn i planlikningen til $$ \beta $$.

$$ \begin{array}{rcl}2\left(5+t\right)+3\left(6+2t\right)-\left(1-5t\right)-1& = & 0\\ 10+2t+18+6t-1+5t-1& =& 0\\ 13t& =& -26\\ t& =& -2\end{array}$$

Så setter vi denne parameterverdien inn i parameterframstillingen til $$ l$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}x& = & 5+\left(-2\right)=3\\ y& =& 6+2·\left(-2\right)=2\\ z& =& 1-5·\left(-2\right)=11\end{array}$$

Skjæringspunktet mellom $$ l$$ og $$ \beta $$ er altså $(3, 2, 11)$.

Løsning med hjelpemidler

For å finne skjæringspunktet med GeoGebra kan vi starte med å skrive inn linja $$ l$$ i CAS på vanlig måte som en vektorfunksjon. Så gjør vi det samme som vi gjorde uten hjelpemidler: setter koordinatene til $$ l$$ inn i planlikningen og løser likningen vi får. Til slutt setter vi $$ t$$-verdien inn i vektorfunksjonen for $$ l$$, som vi har kalt r(t).

I algebrafeltet kan vi bruke kommandoen Skjæring(β,r). Vi kan i tillegg bruke verktøyet "Skjæring mellom to objekt" i 3D-grafikkfeltet for å finne skjæringspunktet. Resultatet i 3D-grafikkfeltet blir som på figuren over. Her heter skjæringspunktet $A$.

Tenk over

Hva er forskjellen på framgangsmåten når vi skal finne skjæringspunktet mellom ei linje og ett av koordinatplanene, og framgangsmåten når vi skal finne skjæringspunktet mellom ei linje og et generelt plan?

Vi ønsker å finne vinkelen mellom ei vilkårlig linje $$ l$$ og et plan $$ \alpha $$.

I figuren nedenfor har vi tegnet $$ l$$ med en retningsvektor $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \alpha $$ med en normalvektor $$ \overrightarrow{n}$$. $$ \alpha $$ ser ut som ei linje på figuren fordi vi ser langs planet. $$ u$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$.

Tenk over

Hvilken av vinklene på figuren er vinkelen mellom planet $$ \alpha $$ og linja $$ l$$ som vi ønsker å finne?

Tenk over

Hvordan kan vi uttrykke $$ w$$ ved hjelp av $$ u$$?

Vi finner vinkelen $$ w$$ mellom planet $$ \alpha $$ og linja $$ l$$ ved å finne vinkelen $$ u$$ mellom retningsvektoren $$ \overrightarrow{v}$$ til linja og normalvektoren $$ \overrightarrow{n}$$ til planet og regne ut $$ \frac{\pi }{2}-u$$.

Tenk over

Hva gjør vi dersom vi får at vinkelen mellom retningsvektoren $$ \overrightarrow{v}$$ til linja og normalvektoren $$ \overrightarrow{n}$$ til planet blir større enn $$ \frac{\pi }{2}$$?

Forklaring

Se figuren nedenfor. Dersom vinkelen $$ u>\frac{\pi }{2}$$, finner vi $$ w$$ ved å snu regnestykket og regne ut $$ u-\frac{\pi }{2}$$.

Oppsummering, vinkel mellom plan og linje