Vi har gitt firkanten ABCD der .
a) Forklar at ABCD er et parallellogram.
Løsning
I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i en firkant er like lange og parallelle, må også de to andre være det. To like vektorer er både like lange og parallelle, og må dermed (hvis de ikke ligger på linje) spenne ut et parallellogram.
Vi setter AB→=a→ og AD→=b→.
b) Uttrykk diagonalene AC→ og BD→ ved a→ og b→.
Løsning
AC→=AB→+BC→=AB→+AD→=a→+b→BD→=BA→+AD→=-AB→+AD→=-a→+b→
Diagonalene skjærer hverandre i punktet S.
c) Uttrykk AS→ ved a→ og b→ på to måter. (Tips: Bruk det du fant i b).)
Løsning
AS→=t·AC→=t·a→+t·b→AS→=AB→+k·BD→=a→+k·-a→+k·b→=1-ka→+k·b→
d) Bruk resultatene fra c) til å vise at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram er midtpunktet på diagonalene.
Løsning
Her må vi vise at AS→=12AC→ og BS→=12BD→, altså at t=k=12:
AS→=AS→t·a→+t·b→=1-ka→+k·b→t=1-k∧t=kt=1-tt=12=k
Vi har en trekant ABC. Vi setter AB→=a→ og AC→=b→.
Punktene D og E ligger slik at AD→=12AC→ og BE→=13BC→. Punktet F er skjæringspunktet mellom linjestykkene BD og AE.
a) Uttrykk AE→ og BD→ ved a→ og b→.
Løsning
AE→=AB→+13BC→=AB→+13BA→+AC→=a→+13-a→+b→=23a→+13b→BD→=BA→+12AC→=-a→+12b→
b) Uttrykk AF→ ved a→ og b→. (Tips: Uttrykk AF→ på to måter.)
Løsning
AF→=t·AE→=23ta→+13tb→AF→=AB→+k·BD→=a→+k·-a→+12b→=1-ka→+12kb→AF→=AF→23ta→+13tb→=1-ka→+12kb→23t=1-k ∧ 13t=12k⇒k=23t23t=1-23t43t=1⇒t=34AF→=34·AE→=23·34a→+13·34b→=12a→+14b→
Vi setter nå A = (-2,0), B = (4,0) og C = (4,10).
c) Bruk det du har funnet i a) og b) til å bestemme koordinatene til D, E og F.
Løsning
a→=AB→=4--2,0=6,0b→=AC→=4--2,10-0=6,10OD→=OA→+AD→=OA→+12AC→=-2,0+126,10=-2+3,0+5=1,5OE→=OA→+AE→=-2,0+23a→+13b→=-2,0+236,0+136,10=-2+4+2,0+0+103=4,103OF→=OA→+AF→=-2,0+12a→+14b→=-2,0+126,0+146,10=-2+3+64,0+0+104=104,104D1,5,E4,103,F104,104