Hopp til innhold
Oppgave

Å uttrykke en vektor på flere måter

Her kan du jobbe med oppgaver hvor du får bruk for å uttrykke vektorer på flere måter.

4.3.10

Vi har gitt firkanten ABCD der AB=DC.

a) Forklar at ABCD er et parallellogram.

Løsning

I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i en firkant er like lange og parallelle, må også de to andre være det. To like vektorer er både like lange og parallelle, og må dermed (hvis de ikke ligger på linje) spenne ut et parallellogram.

Vi setter AB=a og AD=b.

b) Uttrykk diagonalene AC og BD ved a og b.

Løsning

AC=AB+BC=AB+AD=a+bBD=BA+AD=-AB+AD=-a+b

Diagonalene skjærer hverandre i punktet S.

c) Uttrykk AS ved a og b på to måter. (Tips: Bruk det du fant i b).)

Løsning

AS=t·AC=t·a+t·bAS=AB+k·BD=a+k·-a+k·b=1-ka+k·b

d) Bruk resultatene fra c) til å vise at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram er midtpunktet på diagonalene.

Løsning

Her må vi vise at AS=12AC og BS=12BD, altså at t=k=12:

AS=ASt·a+t·b=1-ka+k·bt=1-kt=kt=1-tt=12=k


4.3.11

Vi har en trekant ABC. Vi setter AB=a og AC=b.

Punktene D og E ligger slik at AD=12AC og BE=13BC. Punktet F er skjæringspunktet mellom linjestykkene BD og AE.

a) Uttrykk AE og BD ved a og b.

Løsning

AE=AB+13BC=AB+13BA+AC=a+13-a+b=23a+13bBD=BA+12AC=-a+12b

b) Uttrykk AF ved a og b. (Tips: Uttrykk AF på to måter.)

Løsning

AF=t·AE=23ta+13tbAF=AB+k·BD=a+k·-a+12b=1-ka+12kbAF=AF23ta+13tb=1-ka+12kb23t=1-k           13t=12kk=23t23t=1-23t43t=1t=34AF=34·AE=23·34a+13·34b=12a+14b

Vi setter nå A = (-2,0), B = (4,0) og C = (4,10).

c) Bruk det du har funnet i a) og b) til å bestemme koordinatene til D, E og F.

Løsning

a=AB=4--2,0=6,0b=AC=4--2,10-0=6,10OD=OA+AD=OA+12AC=-2,0+126,10=-2+3,0+5=1,5OE=OA+AE=-2,0+23a+13b=-2,0+236,0+136,10=-2+4+2,0+0+103=4,103OF=OA+AF=-2,0+12a+14b=-2,0+126,0+146,10=-2+3+64,0+0+104=104,104D1,5,E4,103,F104,104