Hopp til innhold
Oppgave

En sirkel i planet

Her kan du jobbe med oppgaver om sirkler i planet.

4.3.20

a) Gitt en sirkel med sentrum i 1,2 og radius 3. Finn likningen for sirkelen.

Løsning

x-1,y-2=3x-12+y-22=3x-12+y-222=32x-12+y-22=32

b) Gitt en sirkel med sentrum i -1,-2 og diameter 6. Finn likningen for sirkelen.

Løsning

Radius i sirkelen blir 3, og vi kan sette:

x--1,y--2=3x+12+y+22=3x+12+y+222=32x+12+y+22=32

4.3.21

Bestem sentrum og radius til sirklene:

a) x-12+y+32=22

Løsning

Vi sammenligner med likningen: x-x02+y-y02=r2

Vi ser at sirkelen har sentrum i 1,-3 og at r=2.

b) x+22+y-62=9

Løsning

Vi ser at sirkelen har sentrum i -2,6 og at r=3.

c) x2+y2=100

Løsning

Vi ser at sentrum er i 0,0 og at r=10.

4.3.22

Finn sentrum og radius til sirklene:

a) x2+4x+y2-2y=4

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

x2+4x+422+y2-2y+222=4+422+222x2+4x+22+y2-2y+12=4+22+12x2+4x+2x+22+y2-2y+1y-12=4+4+1x+22+y-12=32

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i -2,1 og radius lik 3.

b) x2-4x+y2=12

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

x2-4x+y2=12x2-4x+-22+y2=12+-22x-22+y2=12+4x-22+y2=42

Dette er likningen til en sirkel med sentrum i 2,0 og radius lik 4.

c) 12x2-x+12y2+3y=13

Løsning

12x2-x+12y2+3y=13|·2x2-2x+y2+6y=26x2-2x+-12+y2+6y+622=26+-12+622x-12+y+32=26+1+9x-12+y+32=36

Dette er likningen til en sirkel med sentrum i 1,-3 og radius lik 6.

4.3.23

Undersøk om likningene representerer sirkler. Hvis de gjør det, finn sentrum og radius.

a) x2+4+y2+9=14

Løsning

Vi ordner likningen:

x2+y2=14-4-9x2+y2=1

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i 0,0 og radius lik 1.

b) 4x2+4y2-4x+12y+6=0

Løsning

Vi ordner likningen og lager fullstendige kvadrater:

4x2-4x+4y2+12y=-6   |·14x2-x+y2+3y=-64x2-x+-122+y2+3y+322=-64+-122+322x-122+y+322=-64+14+94x-122+y+322=1

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i 12,-32 og radius lik 1.

c) x2-8x+y2+2y+18=0

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

x2-8x+y2+2y=-18x2-8x+42+y2+2y+12=-18+16+1x-42+y+12=-1

Dette kan ikke være likningen for en sirkel siden vi får negativ høyre side. Likningen kan aldri bli oppfylt siden venstresida alltid er positiv eller null, og høyresida er negativ.

d) 2x2-2x+3y2+2y=4

Løsning

Dette kan ikke være likningen for en sirkel. Grunnen er at vi ikke har samme tall foran begge andregradsleddene.

4.3.24

Vi har gitt punktene A4,5 og B6,11. En sirkel har AB som diameter. Bestem likningen for sirkelen.

Løsning

Vi finner først sentrum i sirkelen, som er midtpunktet MAB:

OM=OA+12ABx,y=4,5+126-4,11-5x,y=4,5+122,6x,y=4+1,5+3x,y=5,8

Vi har altså M5,8.

Radius i sirkelen er gitt ved:

12AB=122,6=1,3=12+32=10=10

x-5,y-8=10x-52+y-82=10x-52+y-822=102x-52+y-82=10

4.3.25

Ta utgangspunkt i sirkellikningene og uttrykk y som en funksjon av x.

a) x+22+y-12=32

Løsning

x+22+y-12=32y-12=9-x+22y-1=±9-x+22y=±9-x+22+1   ,    x-5,1

For at y skal være en funksjon av x, må hver verdi av x gi én verdi av y.
Vi trenger derfor to funksjoner for å beskrive sirkelen:

y1=+9-x+22+1,x-5,1ogy2=-9-x+22+1,x-5,1

b) x-122+y+322=1

Løsning

x-122+y+322=1y+322=1-x-122y+32=±1-x-122y=±1-x-122-32,x-12,32y1=+1-x-122-32,x-12,32y2=-1-x-122-32,x-12,32

4.3.26

Vi har gitt en rettvinklet trekant der A0,0, B3,0 og C3,4. Se figur.

a) Finn lengden av AC ved hjelp av pytagorassetningen.

Løsning

AC2=AB2+BC2AC2=32+42AC=5

Sett AB=x, BC=y og AC=5.

b) Finn y uttrykt ved x.

Løsning

y2=52-x2y=±52-x2,x-5,5

c) Tegn funksjonene du fant i b). Hva beskriver funksjonene?

Løsning

Funksjonene beskriver hver sin halvdel av sirkelen i figuren.

Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5.