Hopp til innhold
Oppgave

Koordinatene til et punkt. Avstand i planet

Her får du jobbe med oppgaver om punkter og avstander i planet.

4.3.1

Vi har gitt punktet A (4,2) og vektorene AB=2,4, BC=2,-1,CD=-2,-6 og DE=-6,1.

Finn koordinatene til punktene B, C, D og E.

Løsning

Vi finner posisjonsvektorene til de ulike punktene:

OB=OA+AB=4,2+2,4=4+2,2+4=6,6OC=OB+BC=6,6+2,-1=6+2,6+-1=8,5OD=OC+CD=8,5+-2,-6=8+-2,5+-6=6,-1OE=OD+DE=6,-1+-6,1=0,0

Vi ser at punktene er B (6,6), C (8,5), D (6,-1) og E (0,0).

4.3.2

Vi har gitt punktene A (5,3), B (6,0) og C (11,5).

a) Finn et punkt PBC slik at APBC.

Løsning

Vi har at BP=t·BC fordi BPBC.

Vi kan da finne uttrykk for AP og BC og sette skalarproduktet mellom dem lik 0:

BC=11-6,5-0=5,5AP=AB+BP=6-5,0-3+t·5,5=1,-3+5t,5t=1+5t,-3+5tBC·AP=05,5·1+5t,-3+5t=051+5t+5-3+5t=05+25t-15+25t=050t=10t=1050=15AP=1+5·15,-3+5·15=2,-2OP=OA+AP=5,3+2,-2=7,1

Dette betyr at P er (7,1).

b) Finn høyden i trekanten ABC fra A.

Løsning

Dette gjør vi ved å finne lengden av AP.

AP=22+-22=8

c) Bruk resultatet i b) for å finne arealet til trekanten ABC.

Løsning

BC=52+52=50AΔ=BC·AP2=8·502=4002=202=10

4.3.3

Vi har gitt punktet A (2,3) og vektorene AB=4,1 og AC=3,-2.

a) Finn koordinatene til B og C.

Løsning

OB=OA+AB=2,3+4,1=6,4OC=OA+AC=2,3+3,-2=5,1B6,4C5,1

b) Finn lengden av AB og AC.

Løsning

AB=42+12=17AC=32+-22=13

c) Finn vinkelen mellom AB og AC.

Løsning

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

AB·AC=AB·AC·cosAB,ACcosAB,AC=4·3+1·-217·13=1017·13AB,AC47,6o

d) Bruk opplysningene i b) og c) til å finne arealet til trekanten ABC.

Løsning

Siden vi nå kjenner to sidelengder og vinkelen mellom de to sidene, kan vi bruke formelen for areal av trekanter:

T=12·AB·AC·sinAB,AB=12·13·17·sin47,6o=5,485,5

e) Punktet D ligger slik at firkanten ACDB er et parallellogram. Finn arealet av parallellogrammet.

Løsning

Dette parallellogrammet er dobbelt så stort som trekant ABC (tenk gjennom hvorfor!), så arealet er 11.

f) Finn koordinatene til D.

Løsning

D:x,yCD=x-5,y-1AB=CD4,1=x-5,y-14=x-5x=91=y-1y=2D:9,2

4.3.4

Vi har gitt punktene A (3,2), B (9,6) og C (2,10).

Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B.

Løsning

Vi kaller fotpunktet fra C til linja for P og finner lengden av CP:

CP=CA+AP=CA+t·AB=1,-8+t6,4=1+6t,-8+4tCP·AB=01+6t,-8+4t·6,4=061+6t+4-8+4t=06+36t-32+16t=052t=26t=12CP=1+6·12,-8+4·12=4,-6=42+62=52