Vi har gitt punktet A (4,2) og vektorene
Finn koordinatene til punktene B, C, D og E.
Løsning
Vi finner posisjonsvektorene til de ulike punktene:
OB→=OA→+AB→=4,2+2,4=4+2,2+4=6,6OC→=OB→+BC→=6,6+2,-1=6+2,6+-1=8,5OD→=OC→+CD→=8,5+-2,-6=8+-2,5+-6=6,-1OE→=OD→+DE→=6,-1+-6,1=0,0
Vi ser at punktene er B (6,6), C (8,5), D (6,-1) og E (0,0).
Vi har gitt punktene A (5,3), B (6,0) og C (11,5).
a) Finn et punkt P på BC→ slik at AP→⊥BC→.
Løsning
Vi har at BP→=t·BC→ fordi BP→∥BC→.
Vi kan da finne uttrykk for AP→ og BC→ og sette skalarproduktet mellom dem lik 0:
BC→=11-6,5-0=5,5AP→=AB→+BP→=6-5,0-3+t·5,5=1,-3+5t,5t=1+5t,-3+5tBC→·AP→=05,5·1+5t,-3+5t=051+5t+5-3+5t=05+25t-15+25t=050t=10t=1050=15AP→=1+5·15,-3+5·15=2,-2OP→=OA→+AP→=5,3+2,-2=7,1
Dette betyr at P er (7,1).
b) Finn høyden i trekanten ABC fra A.
Løsning
Dette gjør vi ved å finne lengden av AP→.
AP→=22+-22=8
c) Bruk resultatet i b) for å finne arealet til trekanten ABC.
Løsning
BC→=52+52=50AΔ=BC→·AP→2=8·502=4002=202=10
Vi har gitt punktet A (2,3) og vektorene AB→=4,1 og AC→=3,-2.
a) Finn koordinatene til B og C.
Løsning
OB→=OA→+AB→=2,3+4,1=6,4OC→=OA→+AC→=2,3+3,-2=5,1B6,4C5,1
b) Finn lengden av AB→ og AC→.
Løsning
AB→=42+12=17AC→=32+-22=13
c) Finn vinkelen mellom AB→ og AC→.
Løsning
Vi bruker formelen for skalarproduktet:
AB→·AC→=AB→·AC→·cos∠AB→,AC→cos∠AB→,AC→=4·3+1·-217·13=1017·13∠AB→,AC→≈47,6o
d) Bruk opplysningene i b) og c) til å finne arealet til trekanten ABC.
Løsning
Siden vi nå kjenner to sidelengder og vinkelen mellom de to sidene, kan vi bruke formelen for areal av trekanter:
T=12·AB→·AC→·sin∠AB→,AB→=12·13·17·sin47,6o=5,48≈5,5
e) Punktet D ligger slik at firkanten ACDB er et parallellogram. Finn arealet av parallellogrammet.
Løsning
Dette parallellogrammet er dobbelt så stort som trekant ABC (tenk gjennom hvorfor!), så arealet er 11.
f) Finn koordinatene til D.
Løsning
D:x,yCD→=x-5,y-1AB→=CD→4,1=x-5,y-14=x-5⇒x=91=y-1⇒y=2D:9,2
Vi har gitt punktene A (3,2), B (9,6) og C (2,10).
Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B.
Løsning
Vi kaller fotpunktet fra C til linja for P og finner lengden av CP→:
CP→=CA→+AP→=CA→+t·AB→=1,-8+t6,4=1+6t,-8+4tCP→·AB→=01+6t,-8+4t·6,4=061+6t+4-8+4t=06+36t-32+16t=052t=26t=12CP→=1+6·12,-8+4·12=4,-6=42+62=52