Deriverbarhet

Deriverbarhet

Hva betyr det at en funksjon er deriverbar? Vi minner om at den deriverte er stigningstallet til tangenten til et punkt på grafen til en funksjon. Hvis det ikke går an å tegne en entydig tangent i et punkt på grafen, vil derfor ikke funksjonen være deriverbar i dette punktet.

Spørsmålet om deriverbarhet er spesielt aktuelt for funksjoner med delt funksjonsforskrift. Er funksjonen deriverbar i det punktet der funksjonsuttrykket endres? Vi vil bruke eksemplene nedenfor til å komme fram til reglene for deriverbarhet.

Eksempel 1. Diskontinuerlig funksjon

I et av eksemplene på sida "Funksjoner med delt forskrift" (se lenke under relatert innhold) viser vi at funksjonen

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}{x}^2-1 , x<2\\ 2x-8 , x\ge 2\end{array}$

ikke er kontinuerlig for $x=2$. Vi kan også si at funksjonen er diskontinuerlig for $x=2$.

Grafisk betraktning

På bildet har vi tegnet grafen til funksjonen f. Er funksjonen deriverbar for $x=2$? Da må vi i tilfelle kunne tegne en tangent i punktet $\left(2,f\left(2\right)\right)$, som blir i punktet $\left(2,-4\right)$, endepunktet på den høyre delen av grafen.

Kan vi tegne en tangent i et endepunkt? Det kan vi egentlig ikke, for tangentlinja kan "snurre rundt" endepunktet. En tangent har derfor ikke mening i et endepunkt. Da kan vi heller ikke bestemme noe stigningstall til den, og den deriverte kan ikke eksistere i dette punktet. Konklusjonen må bli at funksjonen f ikke er deriverbar for $x=2$ fordi funksjonen ikke er kontinuerlig.

Vi undersøker problemet ved regning

Hvis en funksjon f skal være deriverbar for $x=a$, må grenseverdien nedenfor eksistere.

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }x}$

Fra læren om grenseverdier har vi at siden nevneren går mot null, må også telleren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at

$\begin{array}{rcl}\underset{∆x\to 0}{\lim }\left(f\left(a+∆x\right)-f\left(a\right)\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)-\underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)-f\left(a\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right) & =& f\left(a\right)\end{array}$

🤔 Tenk over: Hvilken grenseverdisetning har vi brukt i overgangen mellom den første og den andre linja?

🤔 Tenk over: Hvorfor kan vi bare fjerne den andre grenseverdien i linje 2 og erstatte den med $f\left(a\right)$?

Å la $∆x\to 0$ er det samme som at det som står inne i parentesen til venstre for likhetstegnet på nederste linje, skal nærme seg a. Det betyr at vi i stedet for å skrive $\underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)$ kan skrive $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$. Vi får derfor til slutt

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Dette er videre det samme som kreves for at en funksjon skal være kontinuerlig, se siden "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner" under relatert innhold. Et nødvendig krav for at en funksjon skal være deriverbar i et punkt, er altså at funksjonen er kontinuerlig i punktet. Derfor vil ikke eksempelfunksjonen vår være deriverbar for $x=2$.

Eksempel 2. Knekkpunkt

I et annet av eksemplene på siden "Funksjoner med delt forskrift" viser vi at funksjonen

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-3 , x<4\\ x-3 , x⩾4\end{array}$

er kontinuerlig for $x=4$.

Vi kan se at grafen har et knekkpunkt for $x=4$.

Er det alltid slik at en funksjon er deriverbar hvis den er kontinuerlig?

Grafisk betraktning

Hvis vi tenker oss at vi prøver å tegne en tangent i knekkpunktet på grafen på bildet, får vi problemer med å bestemme tangenten entydig fordi tangenten kan vippe rundt knekken. Da får vi den samme situasjonen som i det forrige eksempelet, nemlig at vi ikke kan finne noe stigningstall, og den deriverte kan derfor ikke eksistere i punktet.

Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i knekkpunktet.

Vi undersøker problemet ved regning

Det at tangenten vipper rundt knekkpunktet, må bety at den deriverte nærmer seg én verdi når $x\to 4^{+}$ og en annen verdi når $x\to 4^{-}$. Det er det samme som å si at grenseverdien til den deriverte ikke eksisterer for denne x-verdien. Dersom den deriverte nærmer seg den samme verdien fra begge kanter, vil ikke tangenten vippe, vi har ikke et knekkpunkt, og det kan ha mening å snakke om den deriverte for denne verdien.

For at $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skal eksistere i punktet $x=4$, må vi derfor ha at

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$

Før vi vet om funksjonen er deriverbar i punktet $x=4$, kan vi bare si noe om den deriverte i alle andre punkter. Vi får da

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}x , x<4\\ 1 , x>4\end{array}$

Hvis $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skal eksistere for $x=4$, må vi som nevnt få den samme grenseverdien for $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når x nærmer seg tallet 4 fra begge sider.

Vi får at

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}·4=2$

og

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }1=1$

Dette viser at funksjonen ikke er deriverbar for $x=4$ selv om den er kontinuerlig for denne x-verdien.

Hvordan forholder vi oss til disse to kravene om deriverbarhet?

Må vi sjekke begge de nødvendige kravene for deriverbarhet for å finne ut om en funksjon er deriverbar i et punkt?

Deriverbare funksjoner er kontinuerlige

Vi har en matematisk sammenheng som sier at

En funksjon er deriverbar $\Rightarrow$ en funksjon er kontinuerlig.

Vi har her valgt å alltid sjekke kontinuitet først, for så å sjekke grenseverdiene til den deriverte til funksjonen i området rundt punktet vi undersøker. Sammenhengen over sier oss at vi kan velge å gå den andre veien, det vil si å først undersøke deriverbarhet ved hjelp av definisjonen til den deriverte. Hvis vi kan vise at denne grenseverdien er den samme når $\mathrm{\Delta }x$ går mot 0 ovenfra og nedenfra i punktet $x=a$, eksisterer den deriverte i dette punktet.

Deriverbarhet i et punkt

Definisjonen av den deriverte kjenner vi på formen

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$

Vi ser igjen på funksjonen over:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-3 , x<4\\ x-3 , x\ge 4\end{array}$

Vi regner ut de to grenseverdiene i punktet $x=4$:

$\begin{array}{rcl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(4\right)}{\mathrm{\Delta }x} & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}{\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)}^2-3-\left(4-3\right)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(16+8\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2\right)-3-4+3}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle 4+2\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{x}^2-4}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle 2\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{x}^2}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x\left(2+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }x\right)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& 2\end{array}$

Legg merke til at når vi regner ut $f\left(4+∆x\right)$ her, skal vi bruke uttrykket $\frac{1}{4}{x}^2-3$. Det er fordi $∆x<0$ slik at $4+∆x<4$. Når vi regner ut $f\left(4\right)$, må vi bruke det andre uttrykket.

Den andre grenseverdien blir

$\begin{array}{rcl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(4\right)}{\mathrm{\Delta }x} & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4+\mathrm{\Delta }x-3-\left(4-3\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& 1\end{array}$

Her må vi bruke uttrykket $x-3$ når vi skal regne ut $f\left(4+∆x\right)$ fordi nå er $4+∆x>4$.

Vi observerer at de to grenseverdiene ikke er like, det vil si at grenseverdien ikke eksisterer, og dermed kan vi konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktet $x=4$.

🤔 Tenk over: Hva er egentlig forskjellen på det vi har gjort her, og det vi gjorde lenger oppe?

Kontinuitet og deriverbarhet

Legg merke til at vi ut fra konklusjonen ikke kan si om funksjonen f i eksempelet er kontinuerlig eller ikke. Dersom vi finner at en funksjon ikke er deriverbar, må vi undersøke videre om funksjonen er kontinuerlig. Hadde vi funnet ut at funksjonen var deriverbar, kunne vi ha konkludert med at funksjonen også var kontinuerlig.