Fagartikkel

Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Hva er en kontinuerlig funksjon? Her skal vi gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde.

Måling av dybde med loddsnor fra båt. Ved et fjellutspring på bunnen blir det et hopp i dybden, som gjør at grafen over dybde, som er plassert rett under skissen med båt og loddsnor, også får et hopp. Illustrasjon. — Bilde: Junie Loftesnes / CC BY-SA 4.0

Fra en båt loddes dybden ned til havbunnen mens den beveger seg inn mot land. Vannet blir stadig grunnere, bortsett fra når båten passerer et fjellutspring som gjør at dybden endrer seg brått, se figuren.

Vi tenker oss dybden som funksjon av den strekningen båten tilbakelegger. Grafen til denne funksjonen ville da kunne se ut som vist på figuren. Grafen er ikke sammenhengende. Funksjonsverdiene gjør et plutselig hopp for en spesiell verdi av $x$ , men til hver $x$ -verdi måles en bestemt dybde, så funksjonen er definert for alle $x$ .

Vi sier at dybdefunksjonen ikke er kontinuerlig. Den er diskontinuerlig.

Grafene til kontinuerlige funksjoner er sammenhengende i sine definisjonsområder. Vi kan altså tegne grafene med blyant uten å løfte blyanten fra papiret.

En funksjon $f$ er kontinuerlig for $x = a$ hvis og bare hvis

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, er diskontinuerlig i punktet.

Funksjonen $f$ er kontinuerlig i et intervall dersom $f$ er kontinuerlig i alle punkt i intervallet.

En funksjon er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.

En funksjon kan ha to ulike grenseverdier når $x$ nærmer seg en verdi $a$ , avhengig av om $x$ nærmer seg $a$ fra høyre eller fra venstre.

Vi får derfor følgende:

En funksjon $f$ er kontinuerlig for $x = a$ hvis og bare hvis

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x)$ betyr grenseverdien for $f (x)$ når $x$ går mot $a$ fra venstre.

$\lim_{x \to a^{+}} f (x)$ betyr grenseverdien for $f (x)$ når $x$ går mot $a$ fra høyre.

Tre funksjoner er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 5 til 8. Det er funksjonene f av x er lik en tredjedels x i tredje minus x pluss 2, g av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt og h av x er lik parentes x i andre minus 2 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt. Linja x er lik 2 er også tegnet inn. Det er tegnet et stort, rødt kryss på grafen til g for x er lik 2. Skjermutklipp. — Tre eksempler på kontinuerlige funksjoner. Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Funksjonene $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{3} x^{3} - x + 2 \\ g (x) & = & \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ h (x) & = & \frac{x^{2} - 2}{x - 2} \end{array}$

Fra teorien om grenseverdier har vi denne setningen:

Grenseverdien til en polynomfunksjon $f (x)$ når $x$ går mot en bestemt verdi $a$ , kan vi finne ved å regne ut $f (a)$ .

Det betyr at $f$ er kontinuerlig i sitt definisjonsområde. Funksjonen er kontinuerlig. Funksjonen er også definert for alle reelle tall slik at grafen til $f$ er en sammenhengende kurve.

Funksjonene $g$ og $h$ er ikke definert for $x = 2$ fordi nevnerne blir 0 for $x = 2$ . $g$ har en grenseverdi for $x = 2$ , mens grafen til $h$ har asymptoten $x = 2$ . På figuren markerer $X$ at funksjonen $g$ ikke er definert for $x = 2$ .

Vi kan finne grenseverdiene til funksjonene $g$ og $h$ når $x$ går mot en bestemt verdi $a$ , som er forskjellig fra 2, ved å regne ut $f (a)$ .

Det betyr at funksjonene $g$ og $h$ er kontinuerlige i sine definisjonsområder, og de er derfor kontinuerlige funksjoner.

Regler for bruk av teksten "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner"