Oppgave

Den deriverte til eksponentialfunksjonen

Her kan du øve på å derivere eksponentialfunksjoner.

Derivasjonsregel for eksponentialfunksjoner

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{x} \begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \end{matrix} \end{matrix} f^{'} (x) = e^{x} \\ f (x) & = & a^{x} \begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \end{matrix} \end{matrix} f^{'} (x) = a^{x} \cdot \ln a for a > 0 \end{array}$

2.4.60

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = 2^{x} + \ln 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2^{x} + \ln 2 \\ f^{'} (x) & = & 2^{x} \cdot \ln 2 \end{array}$

b) $f (x) = x^{5} \cdot 5^{x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{5} \cdot 5^{x} \\ f^{'} (x) & = & {(x^{5})}^{'} \cdot 5^{x} + x^{5} \cdot {(5^{x})}^{'} \\ = & 5 x^{4} \cdot 5^{x} + x^{5} \cdot 5^{x} \ln 5 \\ = & x^{4} \cdot 5^{x} (5 + x \ln 5) \end{array}$

c) $g (x) = e^{4 x} \cdot 3$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & e^{4 x} \cdot 3 = 3 e^{4 x} \\ g^{'} (x) & = & 3 {(e^{4 x})}^{'} \\ = & 3 \cdot 4 \cdot e^{4 x} \\ = & 12 e^{4 x} \end{array}$

d) $f (x) = e^{x^{2}}$

Løsning

Vi bruker kjerneregelen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{x^{2}} \\ u (x) & = & x^{2} u^{'} (x) = 2 x \\ f (u) & = & e^{u} f^{'} (u) = e^{u} \\ f^{'} (x) & = & u^{'} (x) \cdot f^{'} (u) \\ = & 2 x \cdot e^{u} \\ = & 2 x e^{x^{2}} \end{array}$

2.4.61

Deriver funksjonene, og finn $f^{'} (0)$ .

a) $f (x) = 2 x^{3} + 4 e^{x} - 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 2 x^{3} + 4 e^{x} - 2 \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot 3 x^{2} + 4 e^{x} \\ = & 6 x^{2} + 4 e^{x} \\ f^{'} (0) & = & 6 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} \\ = & 4 \end{array}$

b) $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{2} e^{2 x} u = 2 x \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} e^{u} \cdot u^{'} \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2 \\ = & e^{2 x} \\ f^{'} (0) & = & e^{2 \cdot 0} \\ = & 1 \end{array}$

c) $f (x) = 3 e^{- \frac{x}{3}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 e^{- \frac{x}{3}} \\ f (x) & = & 3 e^{- \frac{1}{3} x} u = - \frac{1}{3} x \\ f^{'} (x) & = & 3 e^{u} \cdot u^{'} \\ = & 3 e^{- \frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ = & - e^{- \frac{1}{3} x} \\ f^{'} (0) & = & - e^{- \frac{1}{3} \cdot 0} \\ = & - 1 \end{array}$

d) $f (x) = 3 \sqrt{x} + 12 e^{0, 5 x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 \sqrt{x} + 12 e^{0, 5 x} \\ f (x) & = & 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 e^{0, 5 x} u = 0, 5 x \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 12 e^{u} \cdot u^{'} \\ = & \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + 12 e^{0, 5 x} \cdot 0, 5 \\ = & \frac{3}{2 \sqrt{x}} + 6 e^{0, 5 x} \end{array}$

Vi ser at $f^{'} (0)$ ikke er definert siden vi har 0 i nevneren.

2.4.62

Akersund er en liten by med 76 538 innbyggere. Det er forventet at innbyggertallet vil øke med 2,3 prosent per år.

a) Lag et funksjonsuttrykk $i (x)$ som viser innbyggertallet i Akersund om $x$ år.

Løsning

Innbyggertallet i Akersund om $x$ år er

$f (x) = 76 538 \cdot 1, 023^{x}$

b) Hva forventer man at innbyggertallet i Akersund er om 10 år?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (10) & = & 76 538 \cdot 1, 023^{10} \\ f (10) & = & 96 080, 10 \end{array}$

Man forventer at innbyggertallet i Akersund er $96 080$ om $10$ år.

c) Når forventes det at innbyggertallet i Akersund stiger til over $100 000$ innbyggere?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 76 538 \cdot 1, 023^{x} \\ 76 538 \cdot 1, 023^{x} & = & 100 000 \\ \ln (1, 023^{x}) & = & \ln (\frac{100 000}{76 538}) \\ x & = & \frac{\ln (\frac{100 000}{76 538})}{\ln 1, 023} \\ x & \approx & 11, 76 \end{array}$

Vi bruker CAS i GeoGebra:

CAS-utregning i GeoGebra. 76538 multiplisert med 1,023 opphøyd i x er lik 100000. Svaret med N Løs er x er lik 11,7585. Skjermutklipp.

Det forventes at innbyggertallet i Akersund stiger til over $100 000$ innbyggere om $12$ år.

d) Lag et funksjonsuttrykk som viser den årlige økningen av innbyggertallet.

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 76 538 \cdot 1, 023^{x} \\ f^{'} (x) & = & 76 538 \cdot {(1, 023^{x})}^{'} \\ = & 76 538 \cdot \ln 1, 023 \cdot 1, 023^{x} \\ = & 1 740 \cdot 1, 023^{x} \end{array}$