Deriverbarheit

Kva betyr det at ein funksjon er deriverbar? Vi minner om at den deriverte er stigingstalet til tangenten til eit punkt på grafen til ein funksjon. Dersom det ikkje går an å teikne ein eintydig tangent i eit punkt på grafen, vil derfor ikkje funksjonen vere deriverbar i dette punktet.

Spørsmålet om deriverbarheit er spesielt aktuelt for funksjonar med delt funksjonsforskrift. Er funksjonen deriverbar i det punktet der funksjonsuttrykket blir endra? Vi vil bruke døma nedanfor til å kome fram til reglane for deriverbarheit.

I eit av døma på sida "Funksjonar med delt forskrift" (sjå lenkje under relatert innhald) viser vi at funksjonen

$$ f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}{x}^2-1 , x<2\\ 2x-8 , x\ge 2\end{array}$$

ikkje er kontinuerleg for $x=2$. Vi kan òg seie at funksjonen er diskontinuerleg for $x=2$.

Grafisk betraktning

På biletet har vi teikna grafen til funksjonen $$ f$$. Er funksjonen deriverbar for  $$ x=2$$? Då må vi i tilfelle kunne teikne ein tangent i punktet $$ \left(2,f\left(2\right)\right)$$, som blir i punktet $$ \left(2,-4\right)$$, endepunktet på den høgre delen av grafen.

Kan vi teikne ein tangent i eit endepunkt? Det kan vi eigentleg ikkje, for tangentlinja kan "snurre rundt" endepunktet. Ein tangent har derfor ikkje meining i eit endepunkt. Då kan vi heller ikkje bestemme noko stigingstal til han, og den deriverte kan ikkje eksistere i dette punktet. Konklusjonen må bli at funksjonen $$ f$$ ikkje er deriverbar for  $$ x=2$$  fordi funksjonen ikkje er kontinuerleg.

Vi undersøkjer problemet ved rekning

Dersom ein funksjon $$ f$$ skal vere deriverbar for  $$ x=a$$, må grenseverdien nedanfor eksistere.

$$ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }x}$$

Frå læra om grenseverdiar har vi at sidan nemnaren går mot null, må òg teljaren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at

$$ \begin{array}{rcl}\underset{∆x\to 0}{\lim }\left(f\left(a+∆x\right)-f\left(a\right)\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)-\underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)-f\left(a\right) & =& 0\\ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right) & =& f\left(a\right)\end{array}$$

Kva grenseverdisetning har vi brukt i overgangen mellom den første og den andre linja?

Kvifor kan vi berre fjerne den andre grenseverdien i linje 2 og erstatte han med $$ f\left(a\right)$$?

Å la  $$ ∆x\to 0$$  er det same som at det som står inne i parentesen til venstre for likskapsteiknet på nedste linje, skal nærme seg $$ a$$. Det betyr at vi i staden for å skrive  $$ \underset{∆x\to 0}{\lim }f\left(a+∆x\right)$$  kan skrive  $$ $ \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$$$. Vi får derfor til slutt

$$ \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$

Dette er vidare det same som trengst for at ein funksjon skal vere kontinuerleg, sjå sida "Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar" under relatert innhald. Eit naudsynt krav for at ein funksjon skal vere deriverbar i eit punkt, er altså at funksjonen er kontinuerleg i punktet. Derfor vil ikkje dømefunksjonen vår vere deriverbar for  $$ x=2$$.

I eit anna av døma på sida "Funksjonar med delt forskrift" viser vi at funksjonen

$$ f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-4 , x<4\\ \frac{1}{2}x-2 , x\ge 4\end{array}$$

er kontinuerleg for $x=4$.

Vi kan sjå at grafen har eit knekkpunkt for $x=4$.

Er det alltid slik at ein funksjon er deriverbar dersom han er kontinuerleg?

Grafisk betraktning

Dersom vi tenkjer oss at vi prøver å teikne ein tangent i knekkpunktet på grafen på biletet, får vi problem med å bestemme tangenten eintydig fordi tangenten kan vippe rundt knekken. Då får vi den same situasjonen som i det førre dømet, nemleg at vi ikkje kan finne noko stigingstal, og den deriverte kan derfor ikkje eksistere i punktet.

Funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbar i knekkpunktet.

Vi undersøkjer problemet ved rekning

Det at tangenten vippar rundt knekkpunktet, må bety at den deriverte nærmar seg éin verdi når  $$ x\to 4^{+}$$  og ein annan verdi når  $$ x\to 4^{-}$$. Det er det same som å seie at grenseverdien til den deriverte ikkje eksisterer for denne $$ x$$-verdien. Dersom den deriverte nærmar seg den same verdien frå begge kantar, vil ikkje tangenten vippe, vi har ikkje eit knekkpunkt, og det kan ha meining å snakke om den deriverte for denne verdien. Då vil denne grenseverdien eksistere.

For at $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ skal eksistere i punktet  $$ x=4$$, må vi derfor ha at

$$ $ \underset{x\to 4^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)$$

Før vi veit om funksjonen er deriverbar i punktet  $$ x=4$$ , kan vi berre seie noko om den deriverte i alle andre punkt. Vi får då

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}x , x<4\\ \frac{1}{2} , x>4\end{array}$

Dersom $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skal eksistere for $x=4$, må vi som nemnt få den same grenseverdien for $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når $x$ nærmar seg talet 4 frå begge sider.

Vi får at

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}·4=2$

og

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dette viser at funksjonen ikkje er deriverbar for $x=4$ sjølv om han er kontinuerleg for denne $$ x$$-verdien.

Må vi sjekke begge dei naudsynte krava for deriverbarheit for å finne ut om ein funksjon er deriverbar i eit punkt?

Vi har ein matematisk samanheng som seier at

Ein funksjon er deriverbar $$ \Rightarrow $$ ein funksjon er kontinuerleg.

Vi har her valt å alltid sjekke kontinuitet først, for så å sjekke grenseverdiane til den deriverte til funksjonen i området rundt punktet vi undersøkjer. Samanhengen over seier oss at vi kan velje å gå den andre vegen, det vil seie å først undersøkje deriverbarheit ved hjelp av definisjonen til den deriverte. Dersom vi kan vise at denne grenseverdien er den same når $$ \mathrm{\Delta }x$$ går mot 0 ovanfrå og nedanfrå i punktet  $$ x=a$$, eksisterer grenseverdien for den deriverte.

Definisjonen av den deriverte kjenner vi på forma

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=$ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$$$

Vi ser igjen på funksjonen over:

$$ $ f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-4 , x<4\\ \frac{1}{2}x-2 , x\ge 4\end{array}$$$

Vi reknar ut dei to grenseverdiane i punktet  $$ x=4$$:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(4\right)}{\mathrm{\Delta }x} & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)-2-\left({\displaystyle \frac{1}{2}}·4-2\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle 2+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x-2-2+2}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(4\right)}{\mathrm{\Delta }x} & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}{\left(4+\mathrm{\Delta }x\right)}^2-4-\left(\frac{1}{2}·4-2\right)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(16-8\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2\right)-4\cancel{-2+2}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle 4+2\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{x}^2-4}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle 2\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{x}^2}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x\left(2+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }x\right)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =& 2\end{array}$$$

Vi observerer at de to grenseverdiane ikkje er like, det vil seie at grenseverdien ikkje eksisterer, og dermed kan vi konkludere med at funksjonen ikkje deriverbar i punktet  $$ x=4$$.

Kva er eigentleg skilnaden på det vi har gjort her, og det vi gjorde lenger oppe?

Legg merke til at vi ut frå konklusjonen ikkje kan seie om funksjonen er kontinuerleg eller ikkje. Dersom vi finn at funksjonen ikkje er deriverbar, må vi undersøkje vidare om funksjonen er kontinuerleg. Hadde vi funne ut at funksjonen var deriverbar, kunne vi ha konkludert med at funksjonen òg var kontinuerleg.