Fagstoff

Polynomdivisjon

I denne artikkelen vil du lære å utføre polynomdivisjon, og vi skal se på noen viktige egenskaper og sammenhenger mellom uttrykkene i divisjonen.

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er å dele et polynom på et annet. Vi har allerede gjort dette tidligere i 1T, uten å kalle det polynomdivisjon. Se på uttrykket under. Vi kan forenkle dette uttrykket ved å faktorisere telleren og forkorte bort like faktorer over og under brøkstreken:

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 3} = \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 3)} = x + 1$

Husk at brøkstreken er et deletegn. Det betyr at vi kan skrive uttrykket vårt slik:

$(x^{2} + 4 x + 3) : (x + 3) = x + 1$

Framgangsmåte

Det er ikke alltid like lett å se hva resultatet av en slik divisjon skal være. Her skal vi lære en metode for å utføre en polynomdivisjon, både når divisjonen går opp, og når den ikke går opp.

🤔 Tenk over: Husker du hvordan du lærte å dividere store tall på hverandre? Framgangsmåten for polynomdivisjon likner på denne måten å dele tall på:

$\begin{matrix} 9 & 3 & 8 & : & 7 & = & 1 & 3 & 4 \\ 7 \\ 2 & 3 & 8 \\ 2 & 1 \\ 2 & 8 \\ 2 & 8 \\ 0 \end{matrix}$

Vi begynner med å sjekke hvor mange ganger 7 går opp i 9, som er 1. Så multipliserer vi 1 med 7 og trekker fra før vi gjentar prosedyren med 23 og videre med 28. Vi legger merke til at resten på nederste linje er lik 0, det vil si at divisjonen vår gikk opp.

Vi kaller tallet vi skal dele opp, det første tallet i divisjonen, for dividend, og tallet vi deler på, for divisor. Resultatet vi får, svaret, kaller vi for kvotient.

Vi gjør på samme måte når vi skal dele et polynom på et annet. Vi viser med et eksempel som tar utgangspunkt i polynomet $P (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ .

Vi skal utføre polynomdivisjonen $P (x) : (x - 1)$ .

Når vi utfører polynomdivisjon, passer vi på å ordne både dividend og divisor slik at leddene står med synkende grad i potensen, altså at leddet med høyest potens kommer først og et eventuelt konstantledd kommer sist.

Vi vil først dele det første leddet i polynomet, $2 x^{3}$ , på divisoren. Vi ser hva vi må multiplisere x (det første leddet i divisoren) med for å få $2 x^{3}$ . $2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ , så det første leddet i svaret vårt skal bli $2 x^{2}$ . På samme måte som i algoritmen over, må vi multiplisere med divisoren og så trekke fra før vi går videre:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \end{array}$

Det første leddet i resten er $- 5 x^{2}$ . Igjen deler vi dette på det første leddet i divisoren, x, og får $- 5 x$ , som blir det neste leddet i kvotienten:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} - 5 x \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 5 x^{2} + 5 x) \\ - 3 x + 3 \end{array}$

Til slutt ser vi at $- 3 x : x = - 3$ , og vi setter det inn:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} - 5 x - 3 \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 5 x^{2} + 5 x) \\ - 3 x + 3 \\ - (- 3 x + 3) \\ 0 \end{array}$

Vi ser at vi får rest lik 0, og vi har at divisjonen går opp.

Vi kan, på samme måte som i eksempelet øverst, skrive denne divisjonen som en brøk. Det at divisjonen går opp, betyr at divisoren, det vil nevneren, også er en faktor i telleren:

$\begin{array}{rcl} \frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3}{x - 1} & = & 2 x^{2} - 5 x - 3 | \cdot (x - 1) \\ 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 & = & (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1) \end{array}$

Divisjonen kan altså skrives slik:

$\begin{array}{rcl} \frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3}{x - 1} & = & \frac{(2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1)}{x - 1} \end{array}$

Nullpunktsetningen

Før du går videre i denne artikkelen, bør du gjøre oppgave 1 på oppgavesiden "Polynomdivisjon".

Vi har sett at dersom divisjonen $P (x) : (x - a)$ går opp, vil $(x - a)$ være en faktor i $P (x)$ . Det at telleren og nevneren har en felles faktor, betyr også at telleren og nevneren har et felles nullpunkt. Det betyr at vi kan finne ut om en divisjon går opp ved å sjekke om dividenden (telleren) og divisoren (nevneren) har felles nullpunkt.

Vi finner først nullpunktet til nevneren:

$\begin{array}{rcl} x - 1 & = & 0 \\ x & = & 1 \end{array}$

Så regner vi ut verdien til polynomet for denne verdien:

$\begin{array}{rcl} P (1) & = & 2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 \\ = & 2 - 7 + 2 + 3 \\ = & 0 \end{array}$

Dette gir oss denne nullpunktsetningen:

$P (a) = 0 \Leftrightarrow P (x) : (x - a)$ går opp.

Når divisjonen ikke går opp

Vi utfører nå divisjonen $P (x) : (x + 1)$ :

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x + 1) & = & 2 x^{2} - 9 x + 11 \\ - (2 x^{3} + 2 x^{2}) \\ - 9 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 9 x^{2} - 9 x) \\ 11 x + 3 \\ - (11 x + 11) \\ - 8 \end{array}$

Vi ser at vi nå har fått en rest. Denne resten må også fordeles ut på divisoren $(x + 1)$ , og vi får dermed ikke et polynom som svar, men en sum av et polynom og en rasjonal funksjon:

$(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x + 1) = 2 x^{2} - 9 x + 11 - \frac{8}{x + 1}$

Før du går videre, bør du gjøre oppgave 2 på oppgavesiden.

Vi gjør nå som vi gjorde da divisjonen gikk opp, vi regner ut verdien av polynomet med verdien til nullpunktet til divisoren:

$P (- 1) = 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3 = - 2 - 7 - 2 + 3 = - 8$

Vi kan nå utvide nullpunktsetningen til å gjelde alle polynomdivisjoner:

Resten i divisjonen $P (x) : (x - a)$ vil alltid være lik $P (a)$ .

Polynomdivisjon i CAS

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er P av x definert som 2 x i tredje minus 7 x i andre pluss 2 x pluss 3. På linje 2 er det skrevet Divisjon parentes P av x komma, x minus 1 parentes slutt. Svaret er 2 x i andre minus 5 x minus 3 og 0. På linje 3 er det skrevet Divisjon parentes P av x komma, x pluss 1 parentes slutt. Svaret er 2 x i andre minus 9 x pluss 11 og minus 8. Skjermutklipp.

Vi kan utføre polynomdivisjon i CAS. Vi bruker kommandoen "Divisjon(Dividend Polynom, Divisor Polynom". Vi får svaret på formen "Polynom, rest". På bildet har vi utført de to divisjonene fra denne artikkelen.