Polynomdivisjon

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3-8x^2+2x+12\right):\left(x+1\right)& =& 2x^2-10x+12\\ \underline{-\left(2x^3+2x^2\right) }& & \\ -10x^2+2x+12& & \\ \underline{-\left(-10x^2-10x\right) }& & \\ 12x+12& & \\ \underline{-(12x+12)}& & \\ 0& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}P\left(-1\right) & =& 2{\left(-1\right)}^3-8{\left(-1\right)}^2+2·\left(-1\right)+12\\ & =& -2-8-2+12\\ & =& 0\end{array}$

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3-8x^2+2x+12\right):\left(x-2\right)& =& 2x^2-4x-6\\ \underline{-\left(2x^3-4x^2\right) }& & \\ -4x^2+2x+12& & \\ \underline{-\left(-4x^2+8x\right) }& & \\ -6x+12& & \\ \underline{-(-6x+12)}& & \\ 0& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}P\left(2\right) & =& 2·2^3-8·2^2+2·2+12\\ & =& 16-32+4+12\\ & =& 0\\ & & \end{array}$

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3-8x^2+2x+12\right):\left(x-3\right)& =& 2x^2-2x-4\\ \underline{-\left(2x^3-6x^2\right) }& & \\ -2x^2+2x+12& & \\ \underline{-\left(-2x^2+6x\right) }& & \\ -4x+12& & \\ \underline{-(-4x+12)}& & \\ 0& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}P\left(3\right) & =& 2·3^3-8·3^2+2·3+12\\ & =& 54-72+6+12\\ & =& 0\end{array}$

Vi ser at

$P\left(a\right)=0$ i alle disse tilfellene. Dette er en generell sammenheng! Vi har at

$P\left(x\right):\left(x-a\right)$ har rest 0 $\iff P\left(a\right)=0$.

Et tredjegradspolynom kan faktoriseres i maks tre lineære faktorer. Vi har vist at både $\left(x+1\right), \left(x-2\right)$ og $\left(x-3\right)$ er faktorer i polynomet. Vi har at

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=x^3-4x^2+x+6$

Vi ser at

$P\left(x\right)=2x^3-8x^2+2x+12=2\left(x^3-4x^2+x+6\right)$.

Dermed er

$P\left(x\right)=2x^3-8x^2+2x+12=2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)$

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3-8x^2+2x+12\right):\left(x-1\right)& =& 2x^2-6x-4+\frac{8}{x-1}\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) }& & \\ -6x^2+2x+12& & \\ \underline{-\left(-6x^2+6x\right) }& & \\ -4x+12& & \\ \underline{-(-4x+4) }& & \\ 8& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}P\left(1\right) & =& 2·1^3-8·1^2+2·1+12\\ & =& 2-8+2+12\\ & =& 8\\ & & \end{array}$

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3-8x^2+2x+12\right):\left(x+2\right)& =& 2x^2-12x+26-\frac{39}{x+2}\\ \underline{-\left(2x^3+4x^2\right) }& & \\ -12x^2+2x+12& & \\ \underline{-\left(-12x^2-24x\right) }& & \\ 26x+12& & \\ \underline{-(26x+52)}& & \\ -39& & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}P\left(-2\right) & =& 2·{\left(-2\right)}^3-8·{\left(-2\right)}^2+2·\left(-2\right)+12\\ & =& -16-32-4+12\\ & =& -39\\ & & \end{array}$

Når vi regner ut $P\left(a\right)$, får vi resten i divisjonen $P\left(x\right):\left(x-a\right)$ som resultat.

$\begin{array}{lc} (2x^2-x-1):(x-1)& =2x+1\\ \underline{-\left(2x^2-2x\right) }& \\ x-1& \\ \underline{-\left(x-1\right)}& \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{lc} \mathrm{(3}{x}^2-x-2):(3x+2)& =x-1\\ \underline{-\left(3x^2+2x\right) }& \\ -3x-2& \\ \underline{-\left(-3x-2\right)}& \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{lc} (2x^2-x-1):(x-2)& =2x+3+\frac{5}{x-2}\\ \underline{-\left(2x^2-4x\right) }& \\ 3x-1& \\ \underline{-\left(-3x-6\right)}& \\ 5& \end{array}$

Vi bruker nullpunktssetningen og regner ut $P_1\left(1\right), P_1\left(-1\right)$ og $P_1\left(-2\right)$:

$\begin{array}{rcl}{P}_1\left(1\right) & =& 1^3+2·1^2-1-2\\ & =& 0\\ P_1\left(-1\right) & =& {\left(-1\right)}^3+2·{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-2\\ & =& -1+2+1-2\\ & =& 0\\ P_1\left(-2\right) & =& {\left(-2\right)}^3+2·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2\\ & =& -8+8+2-2\\ & =& 0\end{array}$

Vi ser at alle de tre divisjonene går opp siden resultatene ble null.

$\begin{array}{rcl}{P}_2\left(1\right)& = & 2·1^3+1^2-13·1+6\\ & =& 2+1-13+6\\ & =& -4\\ P_2\left(-1\right)& =& 2·{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-13·\left(-1\right)+6\\ & =& -2+1+13+6\\ & =& 18\\ P_2\left(-2\right)& =& 2·{\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-13·\left(-2\right)+6\\ & =& -16+4+26+6\\ & =& 20\\ & & \end{array}$

Vi ser at ingen av divisjonene vil gå opp.

$\begin{array}{rcl}{P}_3\left(1\right)& = & 2·1^3-14·1+12\\ & =& 2-14+12\\ & =& 0\\ P_3\left(-1\right)& =& 2·{\left(-1\right)}^3-14·\left(-1\right)+12\\ & =& -2+14+12\\ & =& 24\\ P_3\left(-2\right)& =& 2·{\left(-2\right)}^3-14·\left(-2\right)+12\\ & =& -16+28+12\\ & =& 24\\ & & \end{array}$

Vi ser at $P_3\left(x\right):\left(x-1\right)$ går opp, men ingen av de andre.

Vi legger merke til at

$P_4\left(x\right)=2·P_1\left(x\right)$. Dermed vil også her alle divisjonene gå opp.

$\begin{array}{rcl}{P}_3\left(1\right)& = & 1^3-2·1^2-1+2\\ & =& 1-2-1+2\\ & =& 0\\ P_5\left(-1\right)& =& {\left(-1\right)}^3-2·{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+2\\ & =& -1-2+1+2\\ & =& 0\\ P_5\left(-2\right)& =& {\left(-2\right)}^3-2·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+2\\ & =& -8-8+2+2\\ & =& -12\\ & & \end{array}$

Vi ser at $P\left(x\right):\left(x-1\right)$ og $P\left(x\right):\left(x+1\right)$ går opp, mens $P\left(x\right):\left(x+2\right)$ ikke gjør det.

Løsning uten hjelpemidler:

For at divisjonen skal gå opp, må tredjegradspolynomet bli 0 for $x=1$:

$\begin{array}{rcl}2·1^3+a·1^2-3·1-2 & =& 0\\ 2+a-3-2 & =& 0\\ a & =& 3+2-2 = 3\end{array}$

Vi har at a må være 3 for at divisjonen skal gå opp.

Løsning med CAS:

For at divisjonen skal gå opp, må tredjegradspolynomet bli 0 for $x=2$:

$\begin{array}{rcl}{2}^3-3·2^2-a·2+3·a & =& 0\\ 8 - 12 -2a +3a & =& 0\\ a & =& 4\end{array}$

Når$a=4,$går divisjonen opp.

For at divisjonen skal gå opp, må tredjegradspolynomet bli 0 for $x=-2$:

$\begin{array}{rcl}(-2{)}^3-a·(-2{)}^2-5·(-2)+6& = & 0\\ -8-4a+10+6& =& 0\\ -4a& =& -8\\ a& =& 2\end{array}$

Når$a=2,$går divisjonen opp.

Her kan det lønne seg å legge inn et andregradsledd med 0 som koeffisient for at det skal bli litt lettere å føre:

$\begin{array}{lc} \left(2x^3+0x^2-14x+12\right):\left(x-1\right)& =2x^2+2x-12\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) }& \\ 2x^2-14x+12& \\ \underline{-\left(2x^2-2x\right) }& \\ -12x+12& \\ \underline{-\left(-12x+12\right)}& \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{lc} \left(x^4+3x^3-5x^2-3x+4\right):\left(x^2-1\right)& =x^2+3x-4\\ \underline{-\left(x^4 -x^2\right) }& \\ 3x^3-4x^2-3x+4& \\ \underline{-\left(3x^3 -3x\right) }& \\ -4x^2 +4& \\ \underline{-\left(-4x^2 +4\right)}& \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{lc} \left(4x^4+4x^3-9x^2-x+2\right):\left(4x-2\right)& =x^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-1\\ \underline{-\left(4x^4-2x^3\right) }& \\ 6x^3-9x^2-x+2& \\ \underline{-\left(6x^3-3x^2\right) }& \\ -6x^2-x+2& \\ \underline{-\left(-6x^2+3x\right) }& \\ - 4x+2 & \\ \underline{-\left(-4x+2\right)}& \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{lc} \left(4x^4+4x^3-9x^2-x+2\right):\left(x-2\right)& =4x^3+12x^2+15x+29+\frac{60}{x-2}\\ \underline{-\left(4x^4-8x^3\right) }& \\ 12x^3-9x^2-x+2& \\ \underline{-\left(12x^3-24x^2\right) }& \\ 15x^2-x+2& \\ \underline{-\left(15x^2-30x\right) }& \\ 29x+2 & \\ \underline{-\left(29x-58\right)}& \\ 60& \end{array}$

Her lønner det seg å sette inn tredjegrads- og førstegradsledd med koeffisient lik 0 så det blir lettere å føre:

$\begin{array}{lc} \left(4x^4+0x^3-17x^2+0x+4\right):\left(x-2\right)& =4x^3+8x^2-x-2\\ \underline{-\left(4x^4-8x^3\right) }& \\ 8x^3-17x^2+0x+4& \\ \underline{-\left(8x^3-16x^2\right) }& \\ -x^2+0x+4& \\ \underline{-\left(-x^2+2x\right) }& \\ -2x+4 & \\ \underline{-\left(-2x+4\right)}& \\ 0& \end{array}$