Fagstoff

Polynomdivisjon

I denne artikkelen vil du lære å utføre polynomdivisjon, og vi skal sjå på nokre viktige eigenskapar og samanhengar mellom uttrykka i divisjonen.

Kva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er å dele eit polynom på eit anna. Vi har allereie gjort dette tidlegare i 1T, utan å kalle det polynomdivisjon. Sjå på uttrykket under. Vi kan forenkle dette uttrykket ved å faktorisere teljaren og forkorte bort like faktorar over og under brøkstreken:

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 3} = \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 3)} = x + 1$

Hugs at brøkstreken er eit deleteikn. Det betyr at vi kan skrive uttrykket vårt slik:

$(x^{2} + 4 x + 3) : (x + 3) = x + 1$

Framgangsmåte

Det er ikkje alltid like lett å sjå kva resultatet av ein slik divisjon skal vere. Her skal vi lære ein metode for å utføre ein polynomdivisjon, både når divisjonen går opp, og når han ikkje går opp.

🤔 Tenk over: Hugsar du korleis du lærte å dividere store tal på kvarandre? Framgangsmåten for polynomdivisjon liknar på denne måten å dele tal på:

$\begin{matrix} 9 & 3 & 8 & : & 7 & = & 1 & 3 & 4 \\ 7 \\ 2 & 3 & 8 \\ 2 & 1 \\ 2 & 8 \\ 2 & 8 \\ 0 \end{matrix}$

Vi byrjar med å sjekke kor mange gonger 7 går opp i 9, som er 1. Så multipliserer vi 1 med 7 og trekker frå før vi gjentek prosedyren med 23 og vidare med 28. Vi legg merke til at resten på nedste linje er lik 0, det vil seie at divisjonen vår gjekk opp.

Vi kallar talet vi skal dele opp, det første talet i divisjonen, for dividend, og talet vi deler på, for divisor. Resultatet vi får, svaret, kallar vi for kvotient.

Vi gjer på same måte når vi skal dele eit polynom på eit anna. Vi viser med eit døme som tek utgangspunkt i polynomet $P (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ .

Vi skal utføre polynomdivisjonen $P (x) : (x - 1)$ .

Når vi utfører polynomdivisjon, passar vi på å ordne både dividend og divisor slik at ledda står med søkkande grad i potensen, altså at leddet med høgast potens kjem først og eit eventuelt konstantledd kjem sist.

Vi vil først dele det første leddet i polynomet, $2 x^{3}$ , på divisoren. Vi ser kva vi må multiplisere x (det første leddet i divisoren) med for å få $2 x^{3}$ . $2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ , så det første leddet i svaret vårt skal bli $2 x^{2}$ . På same måte som i algoritmen over, må vi multiplisere med divisoren og så trekke frå før vi går vidare:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \end{array}$

Det første leddet i resten er $- 5 x^{2}$ . Igjen deler vi dette på det første leddet i divisoren, x, og får $- 5 x$ , som blir det neste leddet i kvotienten:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} - 5 x \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 5 x^{2} + 5 x) \\ - 3 x + 3 \end{array}$

Til slutt ser vi at $- 3 x : x = - 3$ , og vi set det inn:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1) & = & 2 x^{2} - 5 x - 3 \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ - 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 5 x^{2} + 5 x) \\ - 3 x + 3 \\ - (- 3 x + 3) \\ 0 \end{array}$

Vi ser at vi får rest lik 0, og vi har at divisjonen går opp.

Vi kan, på same måte som i det øvste dømet, skrive denne divisjonen som ein brøk. Det at divisjonen går opp, betyr at divisoren, det vil seie nemnaren, òg er ein faktor i teljaren:

$\begin{array}{rcl} \frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3}{x - 1} & = & 2 x^{2} - 5 x - 3 | \cdot (x - 1) \\ 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 & = & (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1) \end{array}$

Divisjonen kan altså skrivast slik:

$\begin{array}{rcl} \frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3}{x - 1} & = & \frac{(2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1)}{x - 1} \end{array}$

Nullpunktsetninga

Før du går vidare i denne artikkelen, bør du gjere oppgåve 1 på oppgåvesida "Polynomdivisjon".

Vi har sett at dersom divisjonen $P (x) : (x - a)$ går opp, vil $(x - a)$ vere ein faktor i $P (x)$ . Det at teljaren og nemnaren har ein felles faktor, betyr òg at teljaren og nemnaren har eit felles nullpunkt. Det betyr at vi kan finne ut om ein divisjon går opp ved å sjekke om dividenden (teljaren) og divisoren (nemnaren) har felles nullpunkt.

Vi finn først nullpunktet til nemnaren:

$\begin{array}{rcl} x - 1 & = & 0 \\ x & = & 1 \end{array}$

Så reknar vi ut verdien til polynomet for denne verdien:

$\begin{array}{rcl} P (1) & = & 2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 \\ = & 2 - 7 + 2 + 3 \\ = & 0 \end{array}$

Dette gir oss denne nullpunktsetninga:

$P (a) = 0 \Leftrightarrow P (x) : (x - a)$ går opp.

Når divisjonen ikkje går opp

Vi utfører no divisjonen $P (x) : (x + 1)$ :

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x + 1) & = & 2 x^{2} - 9 x + 11 \\ - (2 x^{3} + 2 x^{2}) \\ - 9 x^{2} + 2 x + 3 \\ - (- 9 x^{2} - 9 x) \\ 11 x + 3 \\ - (11 x + 11) \\ - 8 \end{array}$

Vi ser at vi no har fått ein rest. Denne resten må òg fordelast ut på divisoren $(x + 1)$ , og vi får dermed ikkje eit polynom som svar, men ein sum av eit polynom og ein rasjonal funksjon:

$(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x + 1) = 2 x^{2} - 9 x + 11 - \frac{8}{x + 1}$

Før du går vidare, bør du gjere oppgåve 2 på oppgåvesida.

Vi gjer no som vi gjorde då divisjonen gjekk opp, vi reknar ut verdien av polynomet med verdien til nullpunktet til divisoren:

$P (- 1) = 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3 = - 2 - 7 - 2 + 3 = - 8$

Vi kan no utvide nullpunktsetninga til å gjelde alle polynomdivisjonar:

Resten i divisjonen $P (x) : (x - a)$ vil alltid vere lik $P (a)$ .

Polynomdivisjon i CAS

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er P av x definert som 2 x i tredje minus 7 x i andre pluss 2 x pluss 3. På linje 2 er det skrive Divisjon parentes P av x komma, x minus 1 parentes slutt. Svaret er 2 x i andre minus 5 x minus 3 og 0. På linje 3 er det skrive Divisjon parentes P av x komma, x pluss 1 parentes slutt. Svaret er 2 x i andre minus 9 x pluss 11 og minus 8. Skjermutklipp.

Vi kan utføre polynomdivisjon i CAS. Vi bruker kommandoen "Divisjon(Dividend Polynom, Divisor Polynom". Vi får svaret på forma "Polynom, rest". På biletet har vi utført dei to divisjonane frå denne artikkelen.