Lineære ulikheter

Hva er en ulikhet?

En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten

$3<8$

Ulikheten leses som "$3$ er mindre enn $8$".

Vi har fire ulikhetssymboler:

$<$ betyr "mindre enn".

$>$ betyr "større enn".

$\le$ betyr "mindre enn eller lik".

$\mathrm{\ge }$ betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peker mot det største tallet, som en sulten krokodille som alltid vil ha mest mulig.

En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven x for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse, akkurat som i likninger.

Et eksempel er ulikheten

$x+3\ge 8$

Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier x kan ha for at ulikheten skal være sann. For eksempel: Hvilke verdier av x i ulikheten ovenfor gjør at $x+3$ blir større enn eller lik 8?

Metode for å løse ulikheter

Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsippene vi brukte for å løse likninger.

• Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$.

• Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$.

• Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$.

• Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på ei tallinje.

Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet 4 ligger til høyre for tallet 2 og er dermed større enn 2.

$4>2$

Vi multipliserer så begge tallene (begge sidene i ulikheten) med det negative tallet $-1$. Vi får at $4·\left(-1\right)=-4 \mathrm{og} 2·\left(-1\right)=-2$. Men $-4$ ligger til venstre for $-2$ på tallinja og er da minst. Det betyr at

$-4<-2$

Vi må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

På samme måte kan du ta utgangspunkt i to vilkårlige ulike tall og multiplisere dem eller dividere dem med det samme negative tallet. Du vil se at du alltid må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

Dette betyr at de reglene vi hadde for å løse likninger, også kan brukes for å løse ulikheter med den forskjellen at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Eksempel

Vi løser ulikheten

$\begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 |-4x-3\\ & & \\ 2x-4x& <& 9-3 \\ & & \\ -2x& <& 6 |:\left(-2\right)\\ & & \\ x& >& -3\end{array}$

For alle verdier av x større enn $-3$ er ulikheten sann.

Løsning i CAS

Med CAS i GeoGebra skriver vi inn ulikheten og trykker på knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$. Alternativt kan vi bruke "Løs" som kommando: Løs(2x+3>4x+9).

Grafisk løsning

Vi kan også løse ulikheten grafisk, på samme måte som vi kan løse likninger grafisk. Da tegner vi grafen for venstre og høyre side for seg. Etterpå finner vi eventuelle skjæringspunkter, og så observerer vi i hvilke intervall ulikheten er oppfylt:

Her er venstre side tegnet med den grønne grafen og høyre side med den røde. Vi er på jakt etter det området der venstre side i ulikheten er mindre enn høyre side, som betyr det området der den grønne grafen ligger under den røde.

Vi leser av x-verdien til skjæringspunktet, som er $-3$, og legger merke til at den grønne grafen ligger under den røde til høyre for skjæringspunktet. Det gir oss grafisk den samme løsningen som ved regning, $x>-3$.