Fag

Emne

Ulikheter

Fagstoff

Video

Ikke-lineære ulikheter

Her skal vi lære om ulikheter som inneholder ikke-lineære elementer.

Hva er ikke-lineære ulikheter?

Ikke-lineære ulikheter betyr ulikheter der variabelen ikke bare forekommer i første potens. Uttrykkene i ulikhetene kan for eksempel være potensfunksjoner, rasjonale funksjoner eller andre funksjoner av x. I 1T skal vi jobbe med ulikheter som inneholder potenser og rasjonale uttrykk. Felles for alle disse ulikhetene, er at vi løser dem ved å samle hele uttrykket på den ene siden, faktorisere det og sammenlikne med 0.

🤔 Tenk over: Hvorfor er det lurt å sammenlikne med 0?

Forklaring

Når vi sammenlikner med 0, trenger vi bare å se på om uttrykket vårt er positivt eller negativt. Hvis vi har et uttrykk som er faktorisert, kan vi for eksempel tegne ei fortegnslinje for uttrykket ved å vurdere fortegnene til hver enkelt faktor og dermed løse ulikheten.

Fortegnslinjer

Når vi skal løse ikke-lineære ulikheter, er det vanlig å bruke det vi kaller ei fortegnslinje for å ha en oversikt over hvordan fortegnet til et uttrykk endrer seg. Under ser du fortegnslinja til uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ :

Fortegnslinje for x i andre minus 5 x pluss 4. Linja er heltrukket fra x er lik minus uendelig til x er lik 1, null for x er lik 1, stiplet fra x er lik 1 til x er lik 4, null for x er lik 4, og heltrukket fra x er lik 4 til x er lik uendelig. Illustrasjon.

Her betyr heltrukken linje at uttrykket er positivt, 0 betyr at uttrykket er 0, og ei stiplet linje betyr at uttrykket er negativt. Det vil si at $x^{2} - 5 x + 4$ er positivt for alle verdier av x som er mindre enn 1 og større enn 4, negativt for alle verdier av x som er mellom 1 og 4, og lik 0 for $x = 1$ og $x = 4$ .

Det finnes flere måter å gå fram på for å tegne ei slik fortegnslinje. Metoden vi har valgt her på våre sider, er å faktorisere uttrykket og gjøre stikkprøver i alle aktuelle intervaller. I et av eksemplene lenger ned vil du også få se at man kan bruke det vi kaller et fortegnsskjema, men vi vil holde oss til stikkprøver.

Metode for å tegne fortegnslinje

Vi starter med å faktorisere uttrykket slik at vi kan finne ut hvor uttrykket skifter fortegn.

Her legger vi merke til at vi har $(- 1) \cdot (- 4) = 4$ og $- 1 - 4 = - 5$ . Det gir følgende faktorisering:

$x^{2} - 5 x + 4 = (x - 4) (x - 1)$

Du kan også faktorisere uttrykket ved å bruke nullpunktsmetoden hvis uttrykket er vanskelig å faktorisere ved hjelp av "stirremetoden".

Løsning med abc-formel og nullpunktsmetoden

Vi bytter ut ulikheten med den korresponderende likningen og løser med abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 3}{2} \\ x_{1} & = & 4 \lor x_{2} = 1 \end{array}$

Vi har da at uttrykket faktoriseres slik:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & (x - 4) (x - 1) \end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ er lik 0 når $x = 1$ , og når $x = 4$ . Det er bare for disse x-verdiene at uttrykket kan skifte fortegn. Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdier i hvert av de tre intervallene $⟨ \leftarrow, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ . Vi velger nå ett tall fra hvert av de tre intervallene og regner ut fortegnet:

I intervallet $⟨ \leftarrow, 1 ⟩$ velger vi $x = 0$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (0 - 4) (0 - 1) = (- 4) \cdot (- 1)$

Uttrykket er positivt siden vi multipliserer to negative tall.

I intervallet $⟨ 1, 4 ⟩$ velger vi $x = 2$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (2 - 4) (2 - 1) = (- 2) \cdot (1)$

Uttrykket er negativt siden vi multipliserer et negativt og et positivt tall.

I intervallet $⟨ 4, \to ⟩$ velger vi $x = 5$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (5 - 4) (5 - 1) = (1) \cdot (4)$

Uttrykket er positivt siden vi multipliserer to positive tall.

Dette gir oss den fortegnslinja vi tegnet over.

Løsning av ulikhet med fortegnslinje

Denne kan vi nå bruke til å løse følgende ulikhet:

$x^{2} < 5 x - 4$

Som vi beskrev over, ordner vi først ulikheten slik at vi får null på høyre side:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & < & 0 \\ (x - 4) (x - 1) & < & 0 \end{array}$

Vi skal her finne intervallet der uttrykket på venstre side er mindre enn 0, og vi leser av fortegnslinja over at det er i intervallet $⟨ 1, 4 ⟩$ . Løsningen skriver vi enten $x \in ⟨ 1, 4 ⟩$ , som leses "x er element i intervallet fra 1 til 4", eller som en dobbel ulikhet, $1 < x < 4$ .

Ulikheter med polynomer

Over viste vi en andregradsulikhet. Vi bruker den samme framgangsmåten for å løse ulikheter med polynomer av høyere grad. Vi ser på en ulikhet av tredje grad:

$- 4 x^{2} \leq x - 4 - x^{3}$

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side. Da kan vi faktorisere venstresiden, og ulikheten kan løses ved å studere fortegnet til det faktoriserte uttrykket.

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 \leq 0$

Her skal vi faktorisere et tredjegradsuttrykk. Da bruker vi polynomdivisjon, og vi må finne en faktor i uttrykket for å sette opp denne. Vi sjekker om uttrykket blir 0 for $x = 1$ :

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0$

Dette viser at $(x - 1)$ er en faktor i $x^{3} - 4 x^{2} - x + 4$ .

Vi utfører så polynomdivisjonen:

$\begin{array}{lcc} (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) : (x - 1) & = & x^{2} - 3 x - 4 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ - 3 x^{2} - x + 4 \\ - (- 3 x^{2} + 3 x) \\ - 4 x + 4 \\ - (- 4 x + 4) \\ 0 \end{array}$

Andregradsuttrykket faktoriserer vi ved hjelp av "stirremetoden", og vi ser at vi har $(- 4) \cdot 1 = - 4$ og $- 4 + 1 = - 3$ . Dette gir at $x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$ .

Det betyr at

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = (x + 1) (x - 1) (x - 4)$

Ulikheten kan nå skrives slik:

$\begin{array}{rcl} x^{3} - 4 x - x + 4 & \leq & 0 \\ (x + 1) (x - 1) (x - 4) & \leq & 0 \end{array}$

Vi tar nå "stikkprøver" innenfor hvert intervall for å finne ut hvilket fortegn uttrykket $(x + 1) (x - 1) (x - 4)$ har i hvert av de fire intervallene $⟨ \leftarrow, - 1 ⟩, ⟨ - 1, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ .

For $x = - 2$ får vi at uttrykket er negativt:

$(- 2 + 1) (- 2 - 1) (- 2 - 4) = (- 1) \cdot (- 3) \cdot (- 5) = - 15$

For $x = 0$ får vi at uttrykket er positivt:

$(0 + 1) (0 - 1) (0 - 4) = (+ 1) \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 4$

For $x = 2$ får vi at uttrykket er negativt:

$(2 + 1) (2 - 1) (2 - 4) = (+ 3) \cdot (+ 1) \cdot (- 2) = - 6$

For $x = 5$ får vi at uttrykket er positivt:

$(5 + 1) (5 - 1) (5 - 4) = (+ 6) \cdot (+ 4) \cdot (+ 1) = 24$

Ut fra dette kan vi tegne følgende fortegnslinje:

Fortegnslinje for uttrykket x i tredje minus 4 x i andre minus x pluss 4. Linja er stiplet når x er mindre enn minus 1, 0 når x er lik minus 1, heltrukken når x er større enn minus 1 og mindre enn 1, 0 når x er lik 1, stiplet når x er større enn 1 og mindre enn 4, 0 når x er lik 4, og heltrukken når x er større enn 4. Illustrasjon.

Vi er her ute etter de x-verdiene som gjør at uttrykket vårt er mindre enn eller lik 0. Vi ser at dette gir oss to intervaller. Vi har igjen to måter å skrive løsningen på, enten som en dobbel ulikhet, $x \leq - 1, 1 \leq x \leq 4$ , eller som et intervall, $x \in ⟨ \leftarrow, - 1] \cup [1, 4]$ . Dette intervallet leses som "x element i intervallet fra minus uendelig til og med minus 1 union med intervallet fra og med 1 til og med 4".

Rasjonale ulikheter

Rasjonale ulikheter kjennetegnes av at vi har en brøkulikhet med x i nevneren. Da vil nevneren være negativ for noen x-verdier og positiv for andre x-verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall. Vi løser derfor rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.

Vi skal løse ulikheten

$\frac{x + 1}{2 x - 1} \geq 1$

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side:

$\begin{array}{rcl} \frac{x + 1}{2 x - 1} & \geq & 1 \\ \frac{x + 1}{2 x - 1} - 1 & \geq & 0 \end{array}$

Vi trekker sammen til én brøk og faktoriserer telleren og nevneren hvis nødvendig.

$\begin{array}{rcl} \frac{x + 1}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{(2 x - 1)}{(2 x - 1)} & \geq & 0 \\ \frac{x + 1 - 2 x + 1}{2 x - 1} & \geq & 0 \\ \frac{2 - x}{2 x - 1} & \geq & 0 \end{array}$

Telleren er null når $2 - x = 0$ , det vil si når $x = 2$ . Nevneren er null når $2 x - 1 = 0$ , det vil si når $x = \frac{1}{2}$ . Det er bare for disse to verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar "stikkprøver" og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene $⟨ \leftarrow, \frac{1}{2} ⟩, ⟨ \frac{1}{2}, 2 ⟩$ og $⟨ 2, \to ⟩$ .

For $x = 0$ får vi at uttrykket er negativt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 0}{2 \cdot (0) - 1} = \frac{(+ 2)}{(- 1)} = - 2$

For $x = 1$ får vi at uttrykket er positivt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 1}{2 \cdot (1) - 1} = \frac{(+ 1)}{(+ 1)} = 1$

For $x = 3$ får vi at uttrykket er negativt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 3}{2 \cdot (3) - 1} = \frac{(- 1)}{(+ 5)} = - \frac{1}{5}$

🤔 Tenk over: Trenger vi egentlig å regne ut svaret på hvert uttrykk?

Forklaring

Nei, det holder med å se på fortegnene. Har vi likt fortegn over og under brøkstreken, blir uttrykket positivt. Har vi ulikt fortegn over og under brøkstreken, blir uttrykket negativt.

Dette gir følgende fortegnslinje:

Fortegnslinja til det rasjonale uttrykket med 2 minus x i telleren og 2 x minus 1 i nevneren er tegnet. Linja er stiplet når x er mindre enn en halv, eksisterer ikke for x er lik en halv, er heltrukken når x er større enn en halv og mindre enn 2, null når x er lik 2, og stiplet når x er større enn 2. Illustrasjon.

NB: Legg merke til at brøken $\frac{2 - x}{2 x - 1}$ ikke er definert når nevneren blir 0. I fortegnsskjemaet markerer vi dette med et kryss for $x = \frac{1}{2}$ .

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x brøken $\frac{x + 1}{2 x - 1} \geq 1$ , det vil si at $\frac{2 - x}{2 x - 1} \geq 0$ . Løsningen på oppgaven blir $x \in ⟨ \frac{1}{2}, 2]$ .

🤔 Tenk over: Hvorfor har vi brukt ulike parenteser i dette intervallet?

Forklaring

Vi skulle ha at venstre side skulle være større enn eller lik 0, det vil si at også de verdiene av x som gir nøyaktig 0, skal være med i svarintervallet. Vi ser av fortegnslinja at $x = 2$ gir 0, mens $x = \frac{1}{2}$ ikke gir en verdi siden det gir 0 i nevneren. Dermed kan ikke $\frac{1}{2}$ være med i svarintervallet.

Alternativ framgangsmåte for fortegnslinje

I stedet for å ta stikkprøver i hvert intervall, kan vi lage det vi kaller et fortegnsskjema. Da tegner vi ei fortegnslinje for hver av faktorene i uttrykket, før vi bruker disse til å regne ut fortegnet for selve uttrykket. Dette er for eksempel en mer effektiv måte hvis vi har mange intervaller å sjekke. Vi viser her hvordan vi kan gjøre det for å løse ulikheten:

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}{(x + 3) \cdot (x - 2)} \leq 0$

Vi legger merke til at vi har faktoren $(x - 2)$ både over og under brøkstreken, og det kan være fristende å forkorte den bort. Men da går vi glipp av et kritisk punkt, nemlig punktet $x = 2$ der uttrykket er udefinert. Når vi skal tegne fortegnsskjema, kan det derfor være lurt å ikke forkorte bort noen faktorer.

Et fortegnsskjema for uttrykket på venstre side av ulikheten ser slik ut:

Fortegnsskjema for uttrykket rett over bildet. Fortegnslinja for x pluss 1 er stiplet for x mindre enn minus 1, 0 for x er lik minus 1, og heltrukken for x større enn minus 1. Fortegnslinja for x minus 1 er stiplet for x mindre enn 1, 0 for x er lik 1, og heltrukken for x større enn 1. Fortegnslinja for x minus 2 er stiplet for x mindre enn 2, 0 for x er lik 2, og heltrukken for x større enn 2. Fortegnslinja for x pluss 3 er stiplet for x mindre enn minus 3, 0 for x er lik minus 3, og heltrukken for x større enn minus 3. Ei ny fortegnslinje for x minus 2 er stiplet for x mindre enn 2, 0 for x er lik 2, og heltrukken for x større enn 2. Fortegnslinja for hele uttrykket er stiplet for x mindre enn minus 3, eksisterer ikke for x er lik minus 3, er heltrukken for x større enn minus 3 og mindre enn minus 1, 0 for x er lik minus 1, stiplet for x større enn minus 1 og mindre enn 1, 0 for x er lik 1, heltrukken for x større enn 1 og mindre enn 2, eksisterer ikke for x er lik 2, og er heltrukken for x større enn 2. Illustrasjon.

Måten vi tegner linja for selve uttrykket på, er at vi ser at når x er mindre enn $- 3$ , har vi fem negative faktorer som er ganget sammen, det gir oss et negativt resultat. Når $x = - 3$ og $x = 2$ , har vi 0 i nevneren, da er uttrykket ikke definert. Mellom $- 3$ og $- 1$ har vi fire negative og én positiv faktor, da får vi et positivt resultat. Når $x = \pm 1$ , har vi 0 i telleren, og uttrykket blir 0. Mellom $- 1$ og 1 har vi tre negative og to positive faktorer, det gir et negativt resultat. Mellom 1 og 2 har vi to negative faktorer og tre positive faktorer, det gir et positivt resultat. Når x er større enn 2, har vi bare positive faktorer, noe som også gir et positivt resultat.

Når vi skal løse ulikheten, ser vi etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Dette gir her løsningen

$x \in ⟨ \leftarrow, - 3 ⟩ \cup [- 1, 1]$

Ulikheter i CAS

For å løse ulikheter i CAS kan vi enten skrive inn ulikheten og bruke knappen $x_{}^{} =$ eller bruke kommandoen "Løs". På bildet har vi løst alle de fire ulikhetene fra denne siden i CAS.

Legg merke til at CAS alltid gir løsningen som ulikheter, ikke som intervaller.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet x i andre mindre enn 5 x minus 4. Svaret med Løs er 1 mindre enn x mindre enn 4. På linje 2 er det skrevet minus 4 x i andre mindre enn eller lik x minus 4 minus x i tredje. Svaret med Løs er x mindre enn eller lik minus 1 eller 1 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 4. På linje 3 er det skrevet parentes x pluss 1 parentes slutt delt på parentes 2 x minus 1 parentes slutt større enn eller lik 1. Svaret med Løs er en halv mindre enn x mindre enn eller lik 2. På linje 4 er det skrevet parentes x pluss 1 parentes slutt ganger parentes x minus 1 parentes slutt ganger parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes parentes x pluss 3 parentes slutt ganger parentes x minus 2 parentes slutt parentes slutt mindre enn eller lik 0. Svaret med Løs er x mindre enn minus 3 eller minus 1 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 1. Skjermutklipp.

Grafisk løsning

Ikke-lineære ulikheter kan også løses grafisk. Vi viser her et eksempel. Vi skal løse ulikheten $x^{2} < 2 x + 3$ . Vi tegner hver side inn i GeoGebra og finner at x-verdiene til skjæringspunktene er $x = - 1$ og $x = 3$ .

Ulikheten spør etter når $x^{2}$ , her vist med den røde grafen, er mindre enn $2 x + 3$ , vist med den grønne grafen. Vi ser at dette er oppfylt i området mellom de to skjæringspunktene. Løsningen blir dermed $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$

I et koordinatsystem er grafen til f av x er lik 2 x pluss 3 tegnet for x-verdier mellom minus 3 og 3. Grafen er ei rett linje. Grafen til g av x er lik x i andre er også tegnet for x-verdier mellom minus 3 og 3. Grafene skjærer hverandre i punktet med koordinater minus 1 og 1 og punktet med koordinater 3 og 9. Grafen til f av x ligger over grafen til g av x mellom skjæringspunktene. Utenfor skjæringspunktene er det motsatt. Illustrasjon.

Framgangsmåte for ikke-lineære ulikheter

Ordne ulikheten slik at vi står igjen med 0 på den høyre siden.
Trekk sammen uttrykket på venstre side hvis nødvendig.
Faktoriser uttrykket på venstre side.
Tegn fortegnslinje for venstre side.
Les av og løs ulikheten.

Video om ulikheter av andre grad (lengde 7:29)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om ulikheter av tredje grad (lengde 10:50)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om rasjonale ulikheter (lengde 8:24)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0