Ikke-lineære ulikheter

Denne ulikheten er ferdig ordnet. Vi faktoriserer og finner nullpunktene til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x-12& = & \left(x-6\right)\left(x+2\right)\\ x_1& =& -2 x_2=6\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $\langle \leftarrow , -2\rangle$, $⟨-2, 6⟩$ og $⟨6, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(-3-6\right)\left(-3+2\right)=\left(-9\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt siden vi multipliserer to negative tall.

For $x=0$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(0-6\right)\left(0+2\right)=\left(-6\right)·2$

Uttrykket er negativt siden vi multipliserer et negativt og et positivt tall.

For $x=7$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(7-6\right)\left(7+2\right)=1·9$

Uttrykket er positivt siden vi multipliserer to positive tall.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $x^2-4x-12<0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-2, 6⟩$.

Løsning med CAS:

Grafisk løsning:

Vi tegner uttrykket inn i GeoGebra, finner skjæringspunktene med x-aksen, fordi uttrykket skal være mindre enn 0, og leser av løsningen:

Vi faktoriserer og finner nullpunktene til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}x-4x^2& = & x \left(1-4x\right)\\ x& =& 0 \vee 1-4x=0\\ x_1& =& 0 x_2=\frac{1}{4}\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 0⟩, ⟨0, \frac{1}{4}⟩$ og $⟨\frac{1}{4}, \to ⟩$.

For $x=-1$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=\left(-1\right)\left(1-4·\left(-1\right)\right)=\left(-1\right)·\left(1+4\right)=\left(-1\right)·5$

Uttrykket er negativt siden vi multipliserer et negativt og et positivt tall.

For $x=\frac{1}{8}$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=\frac{1}{8}·\left(1-4·\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}·\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}·\frac{1}{2}$

Uttrykket er positivt siden vi multipliserer to positive tall.

For $x=1$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=1·\left(1-4·1\right)=1·\left(1-4\right)=1·\left(-3\right)$

Uttrykket er negativt siden vi multipliserer et negativt og et positivt tall.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $x-4x^2>0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨0, \frac{1}{4}⟩$.

Løsning med CAS:

Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}2x^2+5x-3& = & 0\\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·\left(-3\right)}}{2·2}\\ x& =& \frac{-5\pm 7}{4}\\ & & \\ x_1& =& -3 x_2=\frac{1}{2}\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩$,$⟨-3, \frac{1}{2}⟩$, og $\langle \frac{1}{2}, \to \rangle$.

For $x=-4$ får vi

$2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(-4+3\right)\left(-4·2-1\right)=\left(-1\right)·\left(-9\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(0+3\right)\left(0·2-1\right)=3·\left(-1\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=1$ får vi

$\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(1+3\right)\left(1·2-1\right)=4·1$

Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $2x^2+5x-3\ge 0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [\frac{1}{2},\to ⟩$.

Løsning med CAS:

Vi finner først nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}-x^2-x+6& = & 0\\ -(x^2+x-6)& =& 0\\ -(x+3)(x-2)& =& 0\\ & & \\ x_1& =& -3 x_2=2\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 2⟩$ og $\langle 2, \to \rangle$.

For $x=-4$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(-4+3\right)\left(-4-2\right)=-\left(-1\right)·\left(-6\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(0+3\right)\left(0-2\right)=-\left(3\right)·\left(-2\right)$

Uttrykket er positivt

For $x=3$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(3+3\right)\left(3-2\right)=-\left(6\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $-x^2-x+6\le 0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in \langle \leftarrow ,-3] \cup [2,\to \rangle$.

Løsning med CAS:

Vi faktoriserer og finner nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}-3x^2+27 & =& 0\\ -3\left(x^2-9\right) & =& 0\\ -3(x-3)(x+3) & =& 0\\ & & \\ x_1 & = & 3 x_2=-3\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 3⟩$ og $\langle 3, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For $x=-4$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(-4+3\right)\left(-4-3\right)=\left(-3\right)·\left(-1\right)·\left(-7\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(0+3\right)\left(0-3\right)=\left(-3\right)·\left(3\right)·\left(-3\right)$

Uttrykket er positivt

For $x=4$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(4+3\right)\left(4-3\right)=\left(-3\right)·\left(7\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $-3x^2+27>0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-3, 3⟩$.

Løsning med CAS:

Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-8x+15& = & 0\\ \left(x-5\right)\left(x-3\right)& =& 0\\ & & \\ x_1& =& 3 \vee x_2=5\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 3⟩, ⟨3, 5⟩$ og $\langle 5, \to \rangle$.

For $x=0$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(0-5\right)\left(0-3\right)=\left(-5\right)·\left(-3\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=4$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(4-5\right)\left(4-3\right)=\left(-1\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt

For $x=6$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(6-5\right)\left(6-3\right)=\left(1\right)·\left(3\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $x^2-8x+15\le 0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in [3, 5]$.

Løsning med CAS:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på venstre side.

$\begin{array}{rcl} 1& > & x^2\\ 0& >& x^2-1\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på høyre side.

$\begin{array}{rcl}0& = & \left(x-1\right)\left(x+1\right)\\ x_1& =& 1 x_2=-1\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 1⟩$ og $\langle 1, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For $x=-2$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(-2-1\right)\left(-2+1\right)=\left(-3\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(0-1\right)\left(0+1\right)=\left(-1\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)=\left(1\right)·\left(3\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $0>x^2-1$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Løsning med CAS:

Kanskje klarer du å komme fram til svaret uten faktorisering og fortegnslinje ved å tenke over på hvilken måte $x^2$ kan være mindre enn 1?

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl}-x& \le & -x^2+6\\ x^2-x-6& \le & 0\end{array}$

Vi finner nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-6& = & 0\\ (x-3)(x+2) & =& 0\\ & & \\ x_1& =& -2 x_2=3\end{array}$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $\langle \leftarrow , -2\rangle , \langle -2, 3\rangle$ og $\langle 3, \to \rangle$.

For $x=-3$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(-3-3\right)\left(-3+2\right)=\left(-6\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(0-3\right)\left(0+2\right)=\left(-3\right)·\left(2\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=4$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(4-3\right)\left(4+2\right)=\left(1\right)·\left(6\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp denne fortegnslinja:

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $x^2-x-6\le 0$. Av fortegnslinja kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in [-2, 3]$.

Løsning med CAS:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side, og faktoriserer.

$\begin{array}{rcl}1-2x& \ge & -x^2\\ x^2-2x+1& \ge & 0\\ {\left(x-1\right)}^2& \ge & 0\end{array}$

Vi ser at uttrykket på venstre side er et fullstendig kvadrat og er alltid større enn eller lik 0.

Løsning: $x\in \mathrm{ℝ}$

Løsning med CAS:

Legg merke til måten GeoGebra skriver løsningen på her.

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to sidene hver for seg. Vi bruker skjæringsverktøyet og finner at grafene kun berører hverandre i ett punkt. Grafen til høyre side, $g\left(x\right)$, ligger ellers alltid under grafen til venstre side. Det gir samme løsning som ved regning og i CAS.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$-x^2+2x-2\ge 0$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}-x^2+2x-2& = & 0\\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}\end{array}$

Likningen har ingen reelle løsninger. Uttrykket kan ikke ha verdien 0. Det betyr at uttrykket enten er negativt hele tida eller positivt hele tida. Hvis vi setter inn $x=0$, har uttrykket verdien $-2$. Med andre ord, uttrykket $-x^2+2x-2$ vil være negativt for alle verdier av x.

Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn eller lik 0. Det er det aldri, så ulikheten har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Grafisk løsning:

Vi tegner inn grafene som representerer de to sidene, og ser at grafen til høyre side alltid vil ligge over grafen til venstre side, og den er dermed alltid størst. Ulikheten har ingen løsning.

$x^2$ kan aldri bli negativ. Uttrykket $1-x^2$ blir dermed aldri større enn 1.

Verken${(x+1)}^2$ eller ${(x-1)}^2$ kan bli mindre enn 0 siden de er fullstendige kvadrater. Da kan heller ikke summen bli mindre enn 0.

Vi ser at de to grafene skjærer hverandre der $x=-2$ , og der $x=6$. Vi ser også at grafen til $f\left(x\right)$ ligger under grafen til $g\left(x\right)$ til venstre for det første skjæringspunktet og til høyre for det andre. Det gir løsningen

$x\in ⟨\leftarrow ,-2]\cup [6,\to ⟩$

Vi ser at de to grafene skjærer hverandre der $x=-2, x=1$, og der $x=4$. Vi ser også at grafen til $g\left(x\right)$ ligger under grafen til $f\left(x\right)$ mellom de to første skjæringspunktene og til høyre for det siste. Det gir løsningen

$x\in ⟨-2,1⟩\cup ⟨4,\to ⟩$

Vi ser at grafene til $g\left(x\right)$ og $f\left(x\right)$ tangerer hverandre i punktet (1,4). Det betyr at de har lik funksjonsverdi for $x=1$. For alle andre verdier er funksjonsverdien til $g\left(x\right)$ lavere enn $f\left(x\right)$. Det betyr at ulikheten bare er oppfylt for $x=1$.

Telleren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Nevneren er null når $2x+1=0$, det vil si når $x=-\frac{1}{2}$.

Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -\frac{1}{2}⟩$, $⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=-1$ får vi $\frac{-1-1}{2·\left(-1\right)+1}=\frac{\left(-2\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{0-1}{2·0+1}=\frac{\left(-1\right)}{1}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2-1}{2·2+1}=\frac{1}{5}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan nå sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{x-1}{2x+1}$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at brøken $\frac{x-1}{2x+1}$ er mindre enn null. Det er når

$x\in ⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{x+1}{x-1}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{x+1}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{x+1-2x+2}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-x+3}{x-1}& \ge & 0\end{array}$

Telleren er null når $-x+3=0$, det vil si når $x=3$.

Nevneren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$, $⟨1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi $\frac{0+3}{0-1}=\frac{3}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{-2+3}{2-1}=\frac{1}{1}$. Uttrykket er positivt.

For $x=4$ får vi $\frac{-4+3}{4-1}=\frac{\left(-1\right)}{3}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{-x+3}{x-1}$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at

$\frac{x+1}{x-1}\ge 2$. Det er når $\frac{-x+3}{x-1}\ge 0$, og det er når

$x\in ⟨1, 3]$

NB: Legg merke til at brøken $\frac{x-1}{x-1}$ ikke er definert for $x=1$, derfor kan ikke 1 være med i løsningsmengden.

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{2x-2}{x-1}-1& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-x+1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x-1}& \le & 0\end{array}$

Vi legger merke til at uttrykket til venstre blir 1 (som ikke er mindre enn 0) for alle andre verdier enn $x=1$, hvor uttrykket ikke er definert. Dermed har ulikheten ingen løsninger.

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-2}{x-1}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-2x+2}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{0}{x-1}& \ge & 0\end{array}$

Telleren er alltid null.

Nevneren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Brøken $\frac{0}{x-1}$ er ikke definert for $x=1$. Ellers har den verdien null, og null er alltid større enn eller lik null. Ulikheten stemmer derfor for alle verdier av $x$ unntatt for $x=1$. Vi får

$x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{x-1}{x+2}-\left(x+1\right)& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x+2}-\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x+2}& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1-\left(x^2+3x+2\right)}{x+2}& \le & 0\\ & & \\ \frac{-x^2-2x-3}{x+2}& \le & 0\end{array}$

Nevneren er null når $x+2=0$, det vil si når $x=-2$. Vi må finne eventuelle nullpunkter til telleren. Vi bruker abc-formelen:

$$\begin{gathered} x = \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2·\left(-1\right)} \\ = \frac{2\pm \sqrt{-8}}{-2} \end{gathered}$$

Vi ser at uttrykket ikke har nullpunkter, og at det alltid er enten negativt eller positivt. Vi sjekker for $x=0$:

$-0^2-2·0-3=-3$

Telleren er altså alltid negativ, mens nevneren skifter fortegn for $x=-2$.

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$ og $⟨-2, \to ⟩$. Vi skriver bare $\left(-\right)$ for telleren siden den alltid er negativ.

For $x=-3$ får vi $\frac{\left(-\right)}{-3+2}=\frac{\left(-\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{\left(-\right)}{0+2}=\frac{\left(-\right)}{2}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at $\frac{x-1}{x+2}\le x+1$. Det er når brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ er mindre enn eller lik null. NB: Legg merke til at brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ ikke er definert for $x=-2$, dermed er ikke $-2$ en del av løsningsmengden. Løsningen er $x\in ⟨-2, \to ⟩$.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{2+x}-\left(2x-1\right)& < & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{2+x}-\frac{\left(2x-1\right)\left(2+x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(4x+2x^2-2-x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-4x-2x^2+2+x}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2x^2-x+1}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\end{array}$

Telleren er null når $x+1=0$, og når $x-\frac{1}{2}=0$, det vil si når

$x=-1$, og når $x=\frac{1}{2}$.

Nevneren er null når $2+x=0$, det vil si når $x=-2$.

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, \frac{1}{2}⟩$ og $⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi $\frac{-2\left(-3+1\right)\left(-3-\frac{1}{2}\right)}{2+\left(-3\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{-2\left(-\frac{3}{2}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-2\left(0+1\right)\left(0-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+0}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-2\left(1+1\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}$:

$\frac{2x-1}{2+x}<2x-1$ når $x\in ⟨-2, -1⟩\cup ⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{3x}-\left(x+2\right)& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{3x}-\frac{\left(x+2\right)3x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(3x^2+6x\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-3x^2-6x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^2-4x-1}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}& \ge & 0\end{array}$

Telleren er null når $x+\frac{1}{3}=0$, og når $x+1=0$, det vil si når

$x=-\frac{1}{3}$ og når $x=-1$.

Nevneren er null når $3x=0$, det vil si når $x=0$.

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩$, $⟨-1, -\frac{1}{3}⟩$, $⟨-\frac{1}{3}, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$.

For $x=-2$ får vi $\frac{-3\left(-2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-2+1\right)}{3·\left(-2\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{1}{2}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-\frac{1}{4}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-3\left(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(1+1\right)}{3·1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$:

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$ ikke er definert for $x=0$.

$\frac{2x-1}{3x}\ge x+2$ når $x\in ⟨\leftarrow , -1]\cup [-\frac{1}{3}, 0⟩$.

Vi setter $x=1$ inn i likningen og får

$\frac{2·1^3+4·1^2-2·1-4}{1+1}=\frac{2+4-2-4}{2}=0$

Venstre side av likningen er lik høyre side, og $x=1$ er dermed en løsning av likningen.

Vi faktoriserer telleren. $\left(x-1\right)$ er en faktor i telleren, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3+4x^2-2x-4\right):\left(x-1\right)& =& 2x^2+6x+4\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) }& & \\ 6x^2-2x-4& & \\ \underline{-\left(6x^2-6x\right) }& & \\ 4x-4& & \\ \underline{-(4x-4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket $2x^2+6x+4$.

$\begin{array}{rcc}2x^2+6x+4& = & 2\left(x^2+3x+2\right)\\ & & \\ & =& 2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\end{array}$

Telleren har da nullpunktene

$x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nevneren er null for $x=-1$.

Likningen $\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}=0$ har dermed løsningene

$x=-2 \vee x=1$

Vi bruker det vi har funnet i b).

Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikheten

$\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}>0$

Telleren er null for $x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nevneren er null for $x=-1$.

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi $\frac{2\left(-3+2\right)\left(-3+1\right)\left(-3-1\right)}{-3+1}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{2\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-1\right)}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1}=\frac{\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{2\left(0+2\right)\left(0+1\right)\left(0-1\right)}{0+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2\left(2+2\right)\left(2+1\right)\left(2-1\right)}{2+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnslinja for brøken $\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$.

Vi får til slutt

$\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}>0$ når $x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Når ulikheten er ordnet slik at det står null på høyre side, skal uttrykket på venstre side være null når $x=-3$.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.

$\begin{array}{rcc}\frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-\frac{2\left(2x+2\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40-\left(4x+4\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-15x+36}{2x+2}& \ge & 0\end{array}$

Vi faktoriserer telleren. $\left(x+3\right)$ er en faktor i telleren siden vi har fra tilleggsopplysningen at uttrykket er null når $x=-3$, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left( -3x^3-18x^2-15x+36\right):\left(x+3\right)& =& -3x^2-9x+12\\ \underline{-\left(-3x^3-9x^2\right) }& & \\ -9x^2-15x+36& & \\ \underline{ -\left(-9x^2-27x\right) }& & \\ 12x+36& & \\ \underline{-(12x+36)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket $-3x^2-9x+12$.

$\begin{array}{ccc}-3x^2-9x+12& = & -3\left(x^2+3x-4\right)\\ & & \\ & =& -3\left(x+4\right)\left(x-1\right)\end{array}$

Telleren har da nullpunktene

$x=-4$, $x=-3$ og $x=1$.

Nevneren er null for $2x+2=0$, det vil si for $x=-1$.

Faktorisert form på telleren i uttrykket i den ordnede ulikheten over blir

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$

Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -4⟩$, $⟨-4, -3⟩$, $⟨-3, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.

For $x=-5$ får vi $\frac{-3\left(-5+4\right)\left(-5+3\right)\left(-5-1\right)}{2·\left(-5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-3,5$ får vi $\frac{-3\left(-3,5+4\right)\left(-3,5+3\right)\left(-3,5-1\right)}{2·\left(-3,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-1,5$ får vi $\frac{-3\left(-1,5+4\right)\left(-1,5+3\right)\left(-1,5-1\right)}{2·\left(-1,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-3\left(0+4\right)\left(0+3\right)\left(0-1\right)}{2·0+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi $\frac{-3\left(2+4\right)\left(2+3\right)\left(2-1\right)}{2·2+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$.

Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$ ikke er definert for $x=-1$.

Vi får til slutt

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$ når $x\in [-4, -3]\cup ⟨-1, 1]$.