Fag

Emne

Ulikskapar

Fagstoff

Video

Ikkje-lineære ulikskapar

Her skal vi lære om ulikskapar som inneheld ikkje-lineære element.

Kva er ikkje-lineære ulikskapar?

Ikkje-lineære ulikskapar betyr ulikskapar der variabelen ikkje berre er i første potens. Uttrykka i ulikskapane kan til dømes vere potensfunksjonar, rasjonale funksjonar eller andre funksjonar av x. I 1T skal vi jobbe med ulikskapar som inneheld potensar og rasjonale uttrykk. Felles for alle desse ulikskapane, er at vi løyser dei ved å samle heile uttrykket på den eine sida, faktorisere det og samanlikne med 0.

🤔 Tenk over: Kvifor er det lurt å samanlikne med 0?

Forklaring

Når vi samanliknar med 0, treng vi berre å sjå på om uttrykket vårt er positivt eller negativt. Dersom vi har eit uttrykk som er faktorisert, kan vi til dømes teikne ei forteiknslinje for uttrykket ved å vurdere forteikna til kvar enkelt faktor og dermed løyse ulikskapen.

Forteiknslinjer

Når vi skal løyse ikkje-lineære ulikskapar, er det vanleg å bruke det vi kallar ei forteiknslinje for å ha ei oversikt over korleis forteiknet til eit uttrykk endrar seg. Under ser du forteiknslinja til uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ :

Forteiknslinje for x i andre minus 5 x pluss 4. Linja er heiltrekt frå x er lik minus uendeleg til x er lik 1, null for x er lik 1, stipla frå x er lik 1 til x er lik 4, null for x er lik 4, og heiltrekt frå x er lik 4 til x er lik uendeleg. Illustrasjon.

Her betyr heiltrekt linje at uttrykket er positivt, 0 betyr at uttrykket er 0, og ei stipla linje betyr at uttrykket er negativt. Det vil seie at $x^{2} - 5 x + 4$ er positivt for alle verdiar av x som er mindre enn 1 og større enn 4, negativt for alle verdiar av x som er mellom 1 og 4, og lik 0 for $x = 1$ og $x = 4$ .

Det finst fleire måtar å gå fram på for å teikne ei slik forteiknslinje. Metoden vi har valt her på sidene våre, er å faktorisere uttrykket og gjere stikkprøvar i alle aktuelle intervall. I eit av døma lenger ned vil du òg få sjå at ein kan bruke det vi kallar eit forteiknsskjema, men vi vil halde oss til stikkprøvar.

Metode for å teikne forteiknslinje

Vi startar med å faktorisere uttrykket slik at vi kan finne ut kvar uttrykket skiftar forteikn.

Her legg vi merke til at vi har $(- 1) \cdot (- 4) = 4$ og $- 1 - 4 = - 5$ . Det gir følgande faktorisering:

$x^{2} - 5 x + 4 = (x - 4) (x - 1)$

Du kan òg faktorisere uttrykket ved å bruke nullpunktsmetoden dersom uttrykket er vanskeleg å faktorisere ved hjelp av "stiremetoden".

Løysing med abc-formel og nullpunktsmetoden

Vi byter ut ulikskapen med den korresponderande likninga og løyser med abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 3}{2} \\ x_{1} & = & 4 \lor x_{2} = 1 \end{array}$

Vi har då at uttrykket blir faktorisert slik:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & (x - 4) (x - 1) \end{array}$

Vi veit no at uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ er lik 0 når $x = 1$ , og når $x = 4$ . Det er berre for desse x-verdiane at uttrykket kan skifte forteikn. Det betyr at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle x-verdiar i kvart av dei tre intervalla $⟨ \leftarrow, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ . Vi vel nå eitt tal frå kvart av dei tre intervalla og reknar ut forteiknet:

I intervallet $⟨ \leftarrow, 1 ⟩$ vel vi $x = 0$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (0 - 4) (0 - 1) = (- 4) \cdot (- 1)$

Uttrykket er positivt sidan vi multipliserer to negative tal.

I intervallet $⟨ 1, 4 ⟩$ vel vi $x = 2$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (2 - 4) (2 - 1) = (- 2) \cdot (1)$

Uttrykket er negativt sidan vi multipliserer eit negativt og eit positivt tal.

I intervallet $⟨ 4, \to ⟩$ vel vi $x = 5$ og får

$(x - 4) (x - 1) = (5 - 4) (5 - 1) = (1) \cdot (4)$

Uttrykket er positivt sidan vi multipliserer to positive tal.

Dette gir oss den forteiknslinja vi teikna over.

Løysing av ulikskap med forteiknslinje

Denne kan vi no bruke til å løyse følgande ulikskap:

$x^{2} < 5 x - 4$

Som vi beskreiv over, ordnar vi først ulikskapen slik at vi får null på høgre side:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & < & 0 \\ (x - 4) (x - 1) & < & 0 \end{array}$

Vi skal her finne intervallet der uttrykket på venstre side er mindre enn 0, og vi les av forteiknslinja over at det er i intervallet $⟨ 1, 4 ⟩$ . Løysinga skriv vi anten $x \in ⟨ 1, 4 ⟩$ , som vi les som "x er element i intervallet frå 1 til 4", eller som ein dobbel ulikskap, $1 < x < 4$ .

Ulikskapar med polynom

Over viste vi ein andregradsulikskap. Vi bruker den same framgangsmåten for å løyse ulikskapar med polynom av høgare grad. Vi ser på ein ulikskap av tredje grad:

$- 4 x^{2} \leq x - 4 - x^{3}$

Vi ordnar ulikskapen slik at vi får null på høgre side. Då kan vi faktorisere venstresida, og ulikskapen kan løysast ved å studere forteiknet til det faktoriserte uttrykket.

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 \leq 0$

Her skal vi faktorisere eit tredjegradsuttrykk. Då bruker vi polynomdivisjon, og vi må finne ein faktor i uttrykket for å setje opp denne. Vi sjekkar om uttrykket blir 0 for $x = 1$ :

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0$

Dette viser at $(x - 1)$ er ein faktor i $x^{3} - 4 x^{2} - x + 4$ .

Vi utfører så polynomdivisjonen:

$\begin{array}{lcc} (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) : (x - 1) & = & x^{2} - 3 x - 4 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ - 3 x^{2} - x + 4 \\ - (- 3 x^{2} + 3 x) \\ - 4 x + 4 \\ - (- 4 x + 4) \\ 0 \end{array}$

Andregradsuttrykket faktoriserer vi ved hjelp av "stiremetoden", og vi ser at vi har $(- 4) \cdot 1 = - 4$ og $- 4 + 1 = - 3$ . Dette gir at $x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$ .

Det betyr at

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = (x + 1) (x - 1) (x - 4)$

Ulikskapen kan no skrivast slik:

$\begin{array}{rcl} x^{3} - 4 x - x + 4 & \leq & 0 \\ (x + 1) (x - 1) (x - 4) & \leq & 0 \end{array}$

Vi tek no "stikkprøvar" innanfor kvart intervall for å finne ut kva forteikn uttrykket $(x + 1) (x - 1) (x - 4)$ har i kvart av dei fire intervalla $⟨ \leftarrow, - 1 ⟩, ⟨ - 1, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ .

For $x = - 2$ får vi at uttrykket er negativt:

$(- 2 + 1) (- 2 - 1) (- 2 - 4) = (- 1) \cdot (- 3) \cdot (- 5) = - 15$

For $x = 0$ får vi at uttrykket er positivt:

$(0 + 1) (0 - 1) (0 - 4) = (+ 1) \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 4$

For $x = 2$ får vi at uttrykket er negativt:

$(2 + 1) (2 - 1) (2 - 4) = (+ 3) \cdot (+ 1) \cdot (- 2) = - 6$

For $x = 5$ får vi at uttrykket er positivt:

$(5 + 1) (5 - 1) (5 - 4) = (+ 6) \cdot (+ 4) \cdot (+ 1) = 24$

Ut frå dette kan vi teikne følgande forteiknslinje:

Forteiknslinje for uttrykket x i tredje minus 4 x i andre minus x pluss 4. Linja er stipla når x er mindre enn minus 1, 0 når x er lik minus 1, heiltrekt når x er større enn minus 1 og mindre enn 1, 0 når x er lik 1, stipla når x er større enn 1 og mindre enn 4, 0 når x er lik 4, og heiltrekt når x er større enn 4. Illustrasjon.

Vi er her ute etter dei x-verdiane som gjer at uttrykket vårt er mindre enn eller lik 0. Vi ser at dette gir oss to intervall. Vi har igjen to måtar å skrive løysinga på, anten som ein dobbel ulikskap, $x \leq - 1, 1 \leq x \leq 4$ , eller som eit intervall, $x \in ⟨ \leftarrow, - 1] \cup [1, 4]$ . Dette intervallet les vi som "x element i intervallet frå minus uendeleg til og med minus 1 union med intervallet frå og med 1 til og med 4".

Rasjonale ulikskapar

Rasjonale ulikskapar er kjenneteikna av at vi har ein brøkulikskap med x i nemnaren. Då vil nemnaren vere negativ for nokre x-verdiar og positiv for andre x-verdiar. Då blir det vanskeleg å forhalde seg til regelen som seier at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer ein ulikskap med eit negativt tal. Vi løyser derfor rasjonale ulikskapar på tilsvarande måte som andregrads- og tredjegradsulikskapar. Vi må samle alle ledda på den eine sida av ulikskapsteiknet og faktorisere.

Vi skal løyse ulikskapen

$\frac{x + 1}{2 x - 1} \geq 1$

Vi ordnar ulikskapen slik at vi får null på høgre side:

$\begin{array}{rcl} \frac{x + 1}{2 x - 1} & \geq & 1 \\ \frac{x + 1}{2 x - 1} - 1 & \geq & 0 \end{array}$

Vi trekker saman til éin brøk og faktoriserer teljaren og nemnaren dersom nødvendig.

$\begin{array}{rcl} \frac{x + 1}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{(2 x - 1)}{(2 x - 1)} & \geq & 0 \\ \frac{x + 1 - 2 x + 1}{2 x - 1} & \geq & 0 \\ \frac{2 - x}{2 x - 1} & \geq & 0 \end{array}$

Teljaren er null når $2 - x = 0$ , det vil seie når $x = 2$ . Nemnaren er null når $2 x - 1 = 0$ , det vil seie når $x = \frac{1}{2}$ . Det er berre for desse to verdiane av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek "stikkprøvar" og undersøker forteiknet til brøken i dei aktuelle intervalla $⟨ \leftarrow, \frac{1}{2} ⟩, ⟨ \frac{1}{2}, 2 ⟩$ og $⟨ 2, \to ⟩$ .

For $x = 0$ får vi at uttrykket er negativt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 0}{2 \cdot (0) - 1} = \frac{(+ 2)}{(- 1)} = - 2$

For $x = 1$ får vi at uttrykket er positivt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 1}{2 \cdot (1) - 1} = \frac{(+ 1)}{(+ 1)} = 1$

For $x = 3$ får vi at uttrykket er negativt:

$\frac{2 - x}{2 x - 1} = \frac{2 - 3}{2 \cdot (3) - 1} = \frac{(- 1)}{(+ 5)} = - \frac{1}{5}$

🤔 Tenk over: Treng vi eigentleg å rekne ut svaret på kvart uttrykk?

Forklaring

Nei, det held med å sjå på forteikna. Har vi likt forteikn over og under brøkstreken, blir uttrykket positivt. Har vi ulikt forteikn over og under brøkstreken, blir uttrykket negativt.

Dette gir følgande forteiknslinje:

Forteiknslinja til det rasjonale uttrykket med 2 minus x i teljaren og 2 x minus 1 i nemnaren er teikna. Linja er stipla når x er mindre enn ein halv, eksisterer ikkje for x er lik ein halv, er heiltrekt når x er større enn ein halv og mindre enn 2, null når x er lik 2, og stipla når x er større enn 2. Illustrasjon.

NB: Legg merke til at brøken $\frac{2 - x}{2 x - 1}$ ikkje er definert når nemnaren blir 0. I forteiknsskjemaet markerer vi dette med eit kryss for $x = \frac{1}{2}$ .

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x brøken $\frac{x + 1}{2 x - 1} \geq 1$ , det vil seie at $\frac{2 - x}{2 x - 1} \geq 0$ . Løysinga på oppgåva blir $x \in ⟨ \frac{1}{2}, 2]$ .

🤔 Tenk over: Kvifor har vi brukt ulike parentesar i dette intervallet?

Forklaring

Vi skulle ha at venstre side skulle vere større enn eller lik 0, det vil seie at dei verdiane av x som gir nøyaktig 0, òg skal vere med i svarintervallet. Vi ser av forteiknslinja at $x = 2$ gir 0, mens $x = \frac{1}{2}$ ikkje gir ein verdi sidan det gir 0 i nemnaren. Dermed kan ikkje $\frac{1}{2}$ vere med i svarintervallet.

Alternativ framgangsmåte for forteiknslinje

I staden for å ta stikkprøvar i kvart intervall, kan vi lage det vi kallar eit forteiknsskjema. Då teiknar vi ei forteiknslinje for kvar av faktorane i uttrykket, før vi bruker desse til å rekne ut forteiknet for sjølve uttrykket. Dette er til dømes ein meir effektiv måte dersom vi har mange intervall å sjekke. Vi viser her korleis vi kan gjere det for å løyse ulikskapen:

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}{(x + 3) \cdot (x - 2)} \leq 0$

Vi legg merke til at vi har faktoren $(x - 2)$ både over og under brøkstreken, og det kan vere freistande å forkorte han bort. Men då går vi glipp av eit kritisk punkt, nemleg punktet $x = 2$ der uttrykket er udefinert. Når vi skal teikne forteiknsskjema, kan det derfor vere lurt å ikkje forkorte bort nokon faktorar.

Eit forteiknsskjema for uttrykket på venstre side av ulikskapen ser slik ut:

Forteiknsskjema for uttrykket rett over biletet. Forteiknslinja for x pluss 1 er stipla for x mindre enn minus 1, 0 for x er lik minus 1, og heiltrekt for x større enn minus 1. Forteiknslinja for x minus 1 er stipla for x mindre enn 1, 0 for x er lik 1, og heiltrekt for x større enn 1. Forteiknslinja for x minus 2 er stipla for x mindre enn 2, 0 for x er lik 2, og heiltrekt for x større enn 2. Forteiknslinja for x pluss 3 er stipla for x mindre enn minus 3, 0 for x er lik minus 3, og heiltrekt for x større enn minus 3. Ei ny forteiknslinje for x minus 2 er stipla for x mindre enn 2, 0 for x er lik 2, og heiltrekt for x større enn 2. Forteiknslinja for heile uttrykket er stipla for x mindre enn minus 3, eksisterer ikkje for x er lik minus 3, er heiltrekt for x større enn minus 3 og mindre enn minus 1, 0 for x er lik minus 1, stipla for x større enn minus 1 og mindre enn 1, 0 for x er lik 1, heiltrekt for x større enn 1 og mindre enn 2, eksisterer ikkje for x er lik 2, og er heiltrekt for x større enn 2. Illustrasjon.

Måten vi teiknar linja for sjølve uttrykket på, er at vi ser at når x er mindre enn $- 3$ , har vi fem negative faktorar som er gonga saman. Det gir oss eit negativt resultat. Når $x = - 3$ og $x = 2$ , har vi 0 i nemnaren, då er uttrykket ikkje definert. Mellom $- 3$ og $- 1$ har vi fire negative og éin positiv faktor, då får vi eit positivt resultat. Når $x = \pm 1$ , har vi 0 i teljaren, og uttrykket blir 0. Mellom $- 1$ og 1 har vi tre negative og to positive faktorar, det gir eit negativt resultat. Mellom 1 og 2 har vi to negative faktorar og tre positive faktorar, det gir eit positivt resultat. Når x er større enn 2, har vi berre positive faktorar, noko som òg gir eit positivt resultat.

Når vi skal løyse ulikskapen, ser vi etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Dette gir her løysinga

$x \in ⟨ \leftarrow, - 3 ⟩ \cup [- 1, 1]$

Ulikskapar i CAS

For å løyse ulikskapar i CAS kan vi anten skrive inn ulikskapen og bruke knappen $x_{}^{} =$ eller bruke kommandoen "Løys". På biletet har vi løyst alle dei fire ulikskapane frå denne sida i CAS.

Legg merke til at CAS alltid gir løysinga som ulikskapar, ikkje som intervall.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive x i andre mindre enn 5 x minus 4. Svaret med Løys er 1 mindre enn x mindre enn 4. På linje 2 er det skrive minus 4 x i andre mindre enn eller lik x minus 4 minus x i tredje. Svaret med Løys er x mindre enn eller lik minus 1 eller 1 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 4. På linje 3 er det skrive parentes x pluss 1 parentes slutt delt på parentes 2 x minus 1 parentes slutt større enn eller lik 1. Svaret med Løys er ein halv mindre enn x mindre enn eller lik 2. På linje 4 er det skrive parentes x pluss 1 parentes slutt gonger parentes x minus 1 parentes slutt gonger parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes parentes x pluss 3 parentes slutt gonger parentes x minus 2 parentes slutt parentes slutt mindre enn eller lik 0. Svaret med Løys er x mindre enn minus 3 eller minus 1 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 1. Skjermutklipp.

Grafisk løysing

Ikkje-lineære ulikskapar kan vi òg løyse grafisk. Vi viser her eit døme. Vi skal løyse ulikskapen $x^{2} < 2 x + 3$ . Vi teiknar kvar side inn i GeoGebra og finn at x-verdiane til skjeringspunkta er $x = - 1$ og $x = 3$ .

Ulikskapen spør etter når $x^{2}$ , her vist med den raude grafen, er mindre enn $2 x + 3$ , vist med den grøne grafen. Vi ser at dette er oppfylt i området mellom dei to skjeringspunkta. Løysinga blir dermed $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$

I eit koordinatsystem er grafen til f av x er lik 2 x pluss 3 teikna for x-verdiar mellom minus 3 og 3. Grafen er ei rett linje. Grafen til g av x er lik x i andre er også teikna for x-verdiar mellom minus 3 og 3. Grafane skjer kvarandre i punktet med koordinatar minus 1 og 1 og punktet med koordinatar 3 og 9. Grafen til f av x ligg over grafen til g av x mellom skjeringspunkta. Utanfor skjeringspunkta er det motsett. Illustrasjon.

Framgangsmåte for ikkje-lineære ulikskapar

Ordne ulikskapen slik at vi står igjen med 0 på den høgre sida.
Trekk saman uttrykket på venstre side dersom nødvendig.
Faktoriser uttrykket på venstre side.
Teikn forteiknslinje for venstre side.
Les av og løys ulikskapen.

Video om ulikskapar av andre grad (lengde 7:29)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om ulikskapar av tredje grad (lengde 10:50)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om rasjonale ulikskapar (lengde 8:24)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0