Ikkje-lineære ulikskapar

Denne ulikskapen er ferdig ordna. Vi faktoriserer og finn nullpunkta til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x-12& = & \left(x-6\right)\left(x+2\right)\\ x_1& =& -2 x_2=6\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $\langle \leftarrow , -2\rangle$, $⟨-2, 6⟩$ og $⟨6, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(-3-6\right)\left(-3+2\right)=\left(-9\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt sidan vi multipliserer to negative tal.

For $x=0$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(0-6\right)\left(0+2\right)=\left(-6\right)·2$

Uttrykket er negativt sidan vi multipliserer eit negativt og eit positivt tal.

For $x=7$ får vi

$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=\left(7-6\right)\left(7+2\right)=1·9$

Uttrykket er positivt sidan vi multipliserer to positive tal.

Vi kan då sette opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $x^2-4x-12<0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in ⟨-2, 6⟩$.

Løysing med CAS:

Grafisk løysing:

Vi teiknar uttrykket inn i GeoGebra, finn skjeringspunkta med x-aksen, fordi uttrykket skal vere mindre enn 0, og les av løysinga:

Vi faktoriserer og finn nullpunkta til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}x-4x^2& = & x \left(1-4x\right)\\ x& =& 0 \vee 1-4x=0\\ x_1& =& 0 x_2=\frac{1}{4}\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , 0⟩, ⟨0, \frac{1}{4}⟩$ og $⟨\frac{1}{4}, \to ⟩$.

For $x=-1$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=\left(-1\right)\left(1-4·\left(-1\right)\right)=\left(-1\right)·\left(1+4\right)=\left(-1\right)·5$

Uttrykket er negativt sidan vi multipliserer eit negativt og eit positivt tal.

For $x=\frac{1}{8}$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=\frac{1}{8}·\left(1-4·\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}·\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}·\frac{1}{2}$

Uttrykket er positivt sidan vi multipliserer to positive tal.

For $x=1$ får vi

$x·\left(1-4x\right)=1·\left(1-4·1\right)=1·\left(1-4\right)=1·\left(-3\right)$

Uttrykket er negativt sidan vi multipliserer eit negativt og eit positivt tal.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $x-4x^2>0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in ⟨0, \frac{1}{4}⟩$.

Løysing med CAS:

Vi finn først nullpunkta til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}2x^2+5x-3& = & 0\\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·\left(-3\right)}}{2·2}\\ x& =& \frac{-5\pm 7}{4}\\ & & \\ x_1& =& -3 x_2=\frac{1}{2}\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -3⟩$,$⟨-3, \frac{1}{2}⟩$, og $\langle \frac{1}{2}, \to \rangle$.

For $x=-4$ får vi

$2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(-4+3\right)\left(-4·2-1\right)=\left(-1\right)·\left(-9\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(0+3\right)\left(0·2-1\right)=3·\left(-1\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=1$ får vi

$\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=\left(1+3\right)\left(1·2-1\right)=4·1$

Uttrykket er positivt.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $2x^2+5x-3\ge 0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [\frac{1}{2},\to ⟩$.

Løysing med CAS:

Vi finn først nullpunkta:

$\begin{array}{rcl}-x^2-x+6& = & 0\\ -(x^2+x-6)& =& 0\\ -(x+3)(x-2)& =& 0\\ & & \\ x_1& =& -3 x_2=2\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 2⟩$ og $\langle 2, \to \rangle$.

For $x=-4$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(-4+3\right)\left(-4-2\right)=-\left(-1\right)·\left(-6\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(0+3\right)\left(0-2\right)=-\left(3\right)·\left(-2\right)$

Uttrykket er positivt

For $x=3$ får vi

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=-\left(3+3\right)\left(3-2\right)=-\left(6\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $-x^2-x+6\le 0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in \langle \leftarrow ,-3] \cup [2,\to \rangle$.

Løysing med CAS:

Vi faktoriserer og finn nullpunkta:

$\begin{array}{rcl}-3x^2+27 & =& 0\\ -3\left(x^2-9\right) & =& 0\\ -3(x-3)(x+3) & =& 0\\ & & \\ x_1 & = & 3 x_2=-3\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 3⟩$ og $\langle 3, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tek stikkprøvane.

For $x=-4$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(-4+3\right)\left(-4-3\right)=\left(-3\right)·\left(-1\right)·\left(-7\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(0+3\right)\left(0-3\right)=\left(-3\right)·\left(3\right)·\left(-3\right)$

Uttrykket er positivt

For $x=4$ får vi

$-3\left(x+3\right)\left(x-3\right)=\left(-3\right)\left(4+3\right)\left(4-3\right)=\left(-3\right)·\left(7\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

Vi kan så setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $-3x^2+27>0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in ⟨-3, 3⟩$.

Løysing med CAS:

Vi finn først nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-8x+15& = & 0\\ \left(x-5\right)\left(x-3\right)& =& 0\\ & & \\ x_1& =& 3 \vee x_2=5\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , 3⟩, ⟨3, 5⟩$ og $\langle 5, \to \rangle$.

For $x=0$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(0-5\right)\left(0-3\right)=\left(-5\right)·\left(-3\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=4$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(4-5\right)\left(4-3\right)=\left(-1\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt

For $x=6$ får vi

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=\left(6-5\right)\left(6-3\right)=\left(1\right)·\left(3\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $x^2-8x+15\le 0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in [3, 5]$.

Løysing med CAS:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på venstre side.

$\begin{array}{rcl} 1& > & x^2\\ 0& >& x^2-1\end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på høgre side.

$\begin{array}{rcl}0& = & \left(x-1\right)\left(x+1\right)\\ x_1& =& 1 x_2=-1\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 1⟩$ og $\langle 1, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tek stikkprøvane.

For $x=-2$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(-2-1\right)\left(-2+1\right)=\left(-3\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(0-1\right)\left(0+1\right)=\left(-1\right)·\left(1\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)=\left(1\right)·\left(3\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $0>x^2-1$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Løysing med CAS:

Kanskje klarer du å komme fram til svaret utan faktorisering og forteiknslinje ved å tenke over på kva måte $x^2$ kan vere mindre enn 1?

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcl}-x& \le & -x^2+6\\ x^2-x-6& \le & 0\end{array}$

Vi finn nullpunkta:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-6& = & 0\\ (x-3)(x+2) & =& 0\\ & & \\ x_1& =& -2 x_2=3\end{array}$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $\langle \leftarrow , -2\rangle , \langle -2, 3\rangle$ og $\langle 3, \to \rangle$.

For $x=-3$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(-3-3\right)\left(-3+2\right)=\left(-6\right)·\left(-1\right)$

Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(0-3\right)\left(0+2\right)=\left(-3\right)·\left(2\right)$

Uttrykket er negativt.

For $x=4$ får vi

$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=\left(4-3\right)\left(4+2\right)=\left(1\right)·\left(6\right)$

Uttrykket er positivt.

Vi kan då setje opp denne forteiknslinja:

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $x^2-x-6\le 0$. Av forteiknslinja kan vi lese at ulikskapen har løysinga $x\in [-2, 3]$.

Løysing med CAS:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side, og faktoriserer.

$\begin{array}{rcl}1-2x& \ge & -x^2\\ x^2-2x+1& \ge & 0\\ {\left(x-1\right)}^2& \ge & 0\end{array}$

Vi ser at uttrykket på venstre side er eit fullstendig kvadrat og er alltid større enn eller lik 0.

Løysing: $x\in \mathrm{ℝ}$

Løysing med CAS:

Legg merke til måten GeoGebra skriv løysinga på her.

Grafisk løysing:

Vi skriv inn dei to sidene kvar for seg. Vi bruker skjeringsverktøyet og finn at grafane kun rører kvarandre i eitt punkt. Grafen til høgre side, $g\left(x\right)$, ligg elles alltid under grafen til venstre side. Det gir same løysing som ved rekning og i CAS.

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$-x^2+2x-2\ge 0$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}-x^2+2x-2& = & 0\\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}\end{array}$

Likninga har ingen reelle løysingar. Uttrykket kan ikkje ha verdien 0. Det betyr at uttrykket anten er negativt heile tida eller positivt heile tida. Dersom vi set inn $x=0$, har uttrykket verdien $-2$. Med andre ord, uttrykket $-x^2+2x-2$ vil vere negativt for alle verdiar av x.

Ulikskapen spør etter når uttrykket er større enn eller lik 0. Det er det aldri, så ulikskapen har inga løysing.

Løysing med CAS:

Grafisk løysing:

Vi teiknar inn grafane som representerer dei to sidene, og ser at grafen til høgre side alltid vil ligge over grafen til venstre side, og den er dermed alltid størst. Ulikskapen har inga løysing.

$x^2$ kan aldri bli negativ. Uttrykket $1-x^2$ blir dermed aldri større enn 1.

Verken${(x+1)}^2$ eller ${(x-1)}^2$ kan bli mindre enn 0 sidan dei er fullstendige kvadrat. Då kan heller ikkje summen bli mindre enn 0.

Vi ser at dei to grafane skjer kvarandre der $x=-2$ , og der $x=6$. Vi ser òg at grafen til $f\left(x\right)$ ligg under grafen til $g\left(x\right)$ til venstre for det første skjeringspunktet og til høgre for det andre. Det gir løysinga

$x\in ⟨\leftarrow ,-2]\cup [6,\to ⟩$

Vi ser at dei to grafane skjer kvarandre der $x=-2, x=1$, og der $x=4$. Vi ser òg at grafen til $g\left(x\right)$ ligg under grafen til $f\left(x\right)$ mellom dei to første skjeringspunkta og til høgre for det siste. Det gir løysinga

$x\in ⟨-2,1⟩\cup ⟨4,\to ⟩$

Vi ser at grafane til $g\left(x\right)$ og $f\left(x\right)$ tangerer kvarandre i punktet (1,4). Det betyr at dei har lik funksjonsverdi for $x=1$. For alle andre verdiar er funksjonsverdien til $g\left(x\right)$ lågare enn $f\left(x\right)$. Det betyr at ulikskapen berre er oppfylt for $x=1$.

Teljaren er null når $x-1=0$, det vil seie når $x=1$.

Nemnaren er null når $2x+1=0$, det vil seie når $x=-\frac{1}{2}$.

Det er berre for desse verdiane av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -\frac{1}{2}⟩$, $⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=-1$ får vi $\frac{-1-1}{2·\left(-1\right)+1}=\frac{\left(-2\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{0-1}{2·0+1}=\frac{\left(-1\right)}{1}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2-1}{2·2+1}=\frac{1}{5}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan no setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{x-1}{2x+1}$.

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at brøken $\frac{x-1}{2x+1}$ er mindre enn null. Det er når

$x\in ⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$

Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{x+1}{x-1}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{x+1}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{x+1-2x+2}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-x+3}{x-1}& \ge & 0\end{array}$

Teljaren er null når $-x+3=0$, det vil seie når $x=3$.

Nemnaren er null når $x-1=0$, det vil seie når $x=1$.

Det er berre for desse verdiane av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , 1⟩$, $⟨1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi $\frac{0+3}{0-1}=\frac{3}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{-2+3}{2-1}=\frac{1}{1}$. Uttrykket er positivt.

For $x=4$ får vi $\frac{-4+3}{4-1}=\frac{\left(-1\right)}{3}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan no setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{-x+3}{x-1}$.

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at

$\frac{x+1}{x-1}\ge 2$. Det er når $\frac{-x+3}{x-1}\ge 0$, og det er når

$x\in ⟨1, 3]$

NB: Legg merke til at brøken $\frac{x-1}{x-1}$ ikkje er definert for $x=1$, derfor kan ikkje 1 vere med i løysingsmengda.

Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{2x-2}{x-1}-1& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-x+1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x-1}& \le & 0\end{array}$

Vi legg merke til at uttrykket til venstre blir 1 (som ikkje er mindre enn 0) for alle andre verdiar enn $x=1$, der uttrykket ikkje er definert. Dermed har ulikskapen ingen løysingar.

Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-2}{x-1}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-2x+2}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{0}{x-1}& \ge & 0\end{array}$

Teljaren er alltid null.

Nemnaren er null når $x-1=0$, det vil seie når $x=1$.

Brøken $\frac{0}{x-1}$ er ikkje definert for $x=1$. Elles har han verdien null, og null er alltid større enn eller lik null. Ulikskapen stemmer derfor for alle verdiar av $x$ unnateke for $x=1$. Vi får

$x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{x-1}{x+2}-\left(x+1\right)& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x+2}-\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x+2}& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1-\left(x^2+3x+2\right)}{x+2}& \le & 0\\ & & \\ \frac{-x^2-2x-3}{x+2}& \le & 0\end{array}$

Nemnaren er null når $x+2=0$, det vil seie når $x=-2$. Vi må finne eventuelle nullpunkt til teljaren. Vi bruker abc-formelen:

$$\begin{gathered} x = \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2·\left(-1\right)} \\ = \frac{2\pm \sqrt{-8}}{-2} \end{gathered}$$

Vi ser at uttrykket ikkje har nullpunkt, og at det alltid er anten negativt eller positivt. Vi sjekkar for $x=0$:

$-0^2-2·0-3=-3$

Teljaren er altså alltid negativ, mens nemnaren skiftar forteikn for $x=-2$.

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -2⟩$ og $⟨-2, \to ⟩$. Vi skriv berre $\left(-\right)$ for teljaren sidan han alltid er negativ.

For $x=-3$ får vi $\frac{\left(-\right)}{-3+2}=\frac{\left(-\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{\left(-\right)}{0+2}=\frac{\left(-\right)}{2}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan no setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$.

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at $\frac{x-1}{x+2}\le x+1$. Det er når brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ er mindre enn eller lik null. NB: Legg merke til at brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ ikkje er definert for $x=-2$, dermed er ikkje $-2$ ein del av løysingsmengda. Løysinga er $x\in ⟨-2, \to ⟩$.

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{2+x}-\left(2x-1\right)& < & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{2+x}-\frac{\left(2x-1\right)\left(2+x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(4x+2x^2-2-x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-4x-2x^2+2+x}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2x^2-x+1}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\end{array}$

Teljaren er null når $x+1=0$, og når $x-\frac{1}{2}=0$, det vil seie når

$x=-1$, og når $x=\frac{1}{2}$.

Nemnaren er null når $2+x=0$, det vil seie når $x=-2$.

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, \frac{1}{2}⟩$ og $⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi $\frac{-2\left(-3+1\right)\left(-3-\frac{1}{2}\right)}{2+\left(-3\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{-2\left(-\frac{3}{2}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-2\left(0+1\right)\left(0-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+0}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-2\left(1+1\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan då setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}$:

$\frac{2x-1}{2+x}<2x-1$ når $x\in ⟨-2, -1⟩\cup ⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{3x}-\left(x+2\right)& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{3x}-\frac{\left(x+2\right)3x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(3x^2+6x\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-3x^2-6x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^2-4x-1}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}& \ge & 0\end{array}$

Teljaren er null når $x+\frac{1}{3}=0$, og når $x+1=0$, det vil seie når

$x=-\frac{1}{3}$ og når $x=-1$.

Nemnaren er null når $3x=0$, det vil seie når $x=0$.

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -1⟩$, $⟨-1, -\frac{1}{3}⟩$, $⟨-\frac{1}{3}, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$.

For $x=-2$ får vi $\frac{-3\left(-2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-2+1\right)}{3·\left(-2\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{1}{2}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-\frac{1}{4}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-3\left(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(1+1\right)}{3·1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan då setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$:

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$ ikkje er definert for $x=0$.

$\frac{2x-1}{3x}\ge x+2$ når $x\in ⟨\leftarrow , -1]\cup [-\frac{1}{3}, 0⟩$.

Vi set $x=1$ inn i likninga og får

$\frac{2·1^3+4·1^2-2·1-4}{1+1}=\frac{2+4-2-4}{2}=0$

Venstre side av likninga er lik høgre side, og $x=1$ er dermed ei løysing av likninga.

Vi faktoriserer teljaren. $\left(x-1\right)$ er ein faktor i teljaren, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left( 2x^3+4x^2-2x-4\right):\left(x-1\right)& =& 2x^2+6x+4\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) }& & \\ 6x^2-2x-4& & \\ \underline{-\left(6x^2-6x\right) }& & \\ 4x-4& & \\ \underline{-(4x-4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket $2x^2+6x+4$.

$\begin{array}{rcc}2x^2+6x+4& = & 2\left(x^2+3x+2\right)\\ & & \\ & =& 2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\end{array}$

Teljaren har då nullpunkta

$x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nemnaren er null for $x=-1$.

Likninga $\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}=0$ har dermed løysingane

$x=-2 \vee x=1$

Vi bruker det vi har funne i b).

Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikskapen

$\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}>0$

Teljaren er null for $x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nemnaren er null for $x=-1$.

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=-3$ får vi $\frac{2\left(-3+2\right)\left(-3+1\right)\left(-3-1\right)}{-3+1}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{2\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-1\right)}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1}=\frac{\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{2\left(0+2\right)\left(0+1\right)\left(0-1\right)}{0+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2\left(2+2\right)\left(2+1\right)\left(2-1\right)}{2+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan då setje opp forteiknslinja for brøken $\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$.

Vi får til slutt

$\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}>0$ når $x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Når ulikskapen er ordna slik at det står null på høgre side, skal uttrykket på venstre side vere null når $x=-3$.

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Så finn vi nullpunkta til teljaren og nemnaren.

$\begin{array}{rcc}\frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-\frac{2\left(2x+2\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40-\left(4x+4\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-15x+36}{2x+2}& \ge & 0\end{array}$

Vi faktoriserer teljaren. $\left(x+3\right)$ er ein faktor i teljaren sidan vi har frå tilleggsopplysninga at uttrykket er null når $x=-3$, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left( -3x^3-18x^2-15x+36\right):\left(x+3\right)& =& -3x^2-9x+12\\ \underline{-\left(-3x^3-9x^2\right) }& & \\ -9x^2-15x+36& & \\ \underline{ -\left(-9x^2-27x\right) }& & \\ 12x+36& & \\ \underline{-(12x+36)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket $-3x^2-9x+12$.

$\begin{array}{ccc}-3x^2-9x+12& = & -3\left(x^2+3x-4\right)\\ & & \\ & =& -3\left(x+4\right)\left(x-1\right)\end{array}$

Teljaren har då nullpunkta

$x=-4$, $x=-3$ og $x=1$.

Nemnaren er null for $2x+2=0$, det vil seie for $x=-1$.

Faktorisert form på teljaren i uttrykket i den ordna ulikskapen over blir

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$

Vi tek stikkprøvar for x-verdiar i intervalla $⟨\leftarrow , -4⟩$, $⟨-4, -3⟩$, $⟨-3, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og bruker det faktoriserte uttrykket i utrekninga.

For $x=-5$ får vi $\frac{-3\left(-5+4\right)\left(-5+3\right)\left(-5-1\right)}{2·\left(-5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-3,5$ får vi $\frac{-3\left(-3,5+4\right)\left(-3,5+3\right)\left(-3,5-1\right)}{2·\left(-3,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-1,5$ får vi $\frac{-3\left(-1,5+4\right)\left(-1,5+3\right)\left(-1,5-1\right)}{2·\left(-1,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-3\left(0+4\right)\left(0+3\right)\left(0-1\right)}{2·0+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi $\frac{-3\left(2+4\right)\left(2+3\right)\left(2-1\right)}{2·2+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan då setje opp forteiknsskjema for brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$.

Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$ ikkje er definert for $x=-1$.

Vi får til slutt

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$ når $x\in [-4, -3]\cup ⟨-1, 1]$.