Lineære ulikskapar

Kva er ein ulikskap?

Ein ulikskap består av eit ulikskapssymbol med eit tal eller uttrykk på kvar side av symbolet. Eit døme er ulikskapen

$3<8$

Ulikskapen kan lesast som "$3$ er mindre enn $8$".

Vi har fire ulikskapssymbol:

$<$ betyr "mindre enn".

$>$ betyr "større enn".

$\le$ betyr "mindre enn eller lik".

$\mathrm{\ge }$ betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peiker mot det største talet, som ei svolten krokodille som alltid vil ha mest mogleg.

Ein ulikskap inneheld gjerne ein eller fleire ukjende storleikar symboliserte med bokstavar. Det er vanleg å bruke bokstaven x for den ukjende når ulikskapen har éin ukjend storleik, akkurat som i likningar.

Eit døme er ulikskapen

$x+3\ge 8$

Å løyse ein ulikskap går ut på å finne kva verdiar x kan ha for at ulikskapen skal vere sann. Til dømes: Kva verdiar av x i ulikskapen ovanfor gjer at $x+3$ blir større enn eller lik 8?

Metode for å løyse ulikskapar

Langt på veg kan vi løyse ulikskapar etter dei same prinsippa vi brukte for å løyse likningar.

• Dersom vi adderer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$.

• Dersom vi subtraherer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$.

• Dersom vi multipliserer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$.

• Dersom vi dividerer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det same positive talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Kva så dersom vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal på begge sider i ein ulikskap?

Vi ser på ei tallinje.

Dersom vi vel to ulike tal, veit vi at det talet som ligg lengst til høgre, er det største. Talet 4 ligg til høgre for talet 2 og er dermed større enn 2.

$4>2$

Vi multipliserer så begge tala (begge sidene i ulikskapen) med det negative talet $-1$. Vi får at $4·\left(-1\right)=-4 \mathrm{og} 2·\left(-1\right)=-2$. Men $-4$ ligg til venstre for $-2$ på tallinja og er då minst. Det betyr at

$-4<-2$

Vi må snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

På same måte kan du ta utgangspunkt i to vilkårlege ulike tal og multiplisere dei eller dividere dei med det same negative talet. Du vil sjå at du alltid må snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

Dette betyr at dei reglane vi hadde for å løyse likningar, òg kan brukast for å løyse ulikskapar med den forskjellen at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal.

Døme

Vi løyser ulikskapen

$\begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 |-4x-3\\ & & \\ 2x-4x& <& 9-3 \\ & & \\ -2x& <& 6 |:\left(-2\right)\\ & & \\ x& >& -3\end{array}$

For alle verdiar av x større enn $-3$ er ulikskapen sann.

Løysing i CAS

Med CAS i GeoGebra skriv vi inn ulikskapen og trykker på knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$. Alternativt kan vi bruke "Løys" som kommando: Løys(2x+3>4x+9).

Grafisk løysing

Vi kan òg løyse ulikskapen grafisk, på same måte som vi kan løyse likningar grafisk. Då teiknar vi grafen for venstre og høgre side for seg. Etterpå finn vi eventuelle skjeringspunkt, og så observerer vi i kva intervall ulikskapen er oppfylt:

Her er venstre side teikna med den grøne grafen og høgre side med den raude. Vi er på jakt etter det området der venstre side i ulikskapen er mindre enn høgre side, som betyr det området der den grøne grafen ligg under den raude.

Vi les av x-verdien til skjeringspunktet, som er $-3$, og legg merke til at den grøne grafen ligg under den raude til høgre for skjeringspunktet. Det gir oss grafisk den same løysinga som ved rekning, $x>-3$.