Grunnleggende derivasjonsregler

En konstant funksjon, $$ f\left(x\right)$$, har ingen variabel $$ x$$ og inneholder bare en konstant $$ k$$.

$$ f\left(x\right)=k$$

Den deriverte til en konstant funksjon blir $$ 0$$.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$

Her ser du tre eksempler:

$$ \begin{array}{lccccc}& \mathrm{Eksempel} 1& & \mathrm{Eksempel} 2& & \mathrm{Eksempel} 3\\ \mathrm{Funksjonen}& g\left(x\right)=3& & h\left(x\right)=\mathrm{\pi }& & p\left(x\right)=3{\mathrm{\pi }}^2\\ \mathrm{Den} \mathrm{deriverte}& g^{\text{'}}\left(x\right)=0& & h^{\text{'}}\left(x\right)=0& & p^{\text{'}}\left(x\right)=0\end{array}$$

Grafen til en konstant funksjon

Grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje. Den er en lineær funksjon fordi grafen består av ei rett linje.

Fordi linja er rett, har den lik stigning hele veien, og siden denne linja er vannrett, er stigningstallet lik 0. Derfor er den deriverte til en konstant funksjon lik null. Tangenten til linja er selve linja.

En potensfunksjon er en funksjon på formen $$ f\left(x\right)=x^r, r\in \mathrm{ℝ}$$.

Vi har at:

$$ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \end{array}& & \end{array}f\left(x\right)=x^r\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=r·x^{r-1}$$

Bevis for regelen når eksponenten $$ r=2$$:

$$ f\left(x\right)=x^2$$

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(x+∆x{)}^2-x^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(\cancel{x^2}+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2)-\cancel{x^2}}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{2x∆x+(∆x{)}^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x(2x+∆x)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\cancel{∆x}(2·x+∆x)}{\cancel{∆x}}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\left(2x+∆x\right)\\ & & \\ & =& 2x\end{array}$$

Vi har tidligere sett at

• når $a$ er et reelt tall forskjellig fra 0 og $n$ et naturlig tall, er $a^{-n}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{1}{a^n}$
• når $a$ er et positivt reelt tall, $n$ et naturlig tall og $m$ et helt tall, så er $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$

Dette gjør at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukes i svært mange tilfeller.

Eksempler på derivasjon av potensfunksjoner

Vi deriverer en funksjon multiplisert med en konstant ved å derivere funksjonen og multiplisere med konstanten.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& a·g\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& a·g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$$

Eksempel:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 5x^2\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 5·2x^{2-1}\\ & =& 10x\end{array}$$

Vi deriverer summer av og differanser mellom funksjoner ved å derivere ledd for ledd.

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)\\ $ f\left(x\right)=g\left(x\right)-h\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)-h^{\text{'}}\left(x\right)$\end{array} \\ \end{gathered}$$

Eksempel:

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& \frac{1}{3}{x}^3-2\sqrt{x}\\ & & \\ & =& \frac{1}{3}{x}^3-2·x^{\frac{1}{2}}\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{3}·3·x^{3-1}-2·\frac{1}{2}·x^{\frac{1}{2}-1}\\ & & \\ & =& \frac{3}{3}·x^2-\frac{2}{2}·x^{-\frac{1}{2}}\\ & & \\ & = & x^2-\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & & \\ & =& x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}$$