Den deriverte til eksponentialfunksjonen
En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen
der variabelen opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten er en konstant større enn null, og er en konstant.
Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen, og det er tallet
Utforsk
På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen gitt ved
Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatene til punktet og likningen til tangenten. Ser du noen sammenheng?
Vi observerer
Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet.
er jo andrekoordinaten til punktetf x , og stigningstallet til tangenten er den deriverte tilx .f - Hvordan kan du beskrive det du fant over rent matematisk?
Vi observerer
Den deriverte til funksjonen
Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen
Dette gjør tallet
Legg også merke til at når
Hva gjør vi når eksponenten er en funksjon av x?
Når eksponenten er en funksjon av
Hva gjør vi når grunntallet ikke er e?
Definisjonen av den naturlige logaritmen sier at ethvert tall
Det gir at
Så bruker vi kjerneregelen:
Vi får følgende derivasjonsregel for eksponentialfunksjoner: