Task

Den deriverte til logaritmefunksjonen

Her kan du øve på å derivere funksjonsuttrykk som inneholder logaritmer.

2.4.70

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = 2 \ln x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 \ln x \\ = & 2 \cdot \ln x \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = & 2 \cdot \frac{1}{x} \\ = & \frac{2}{x} \end{array}$

b) $f (x) = \ln 2 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \ln 2 x \\ = & \ln 2 + \ln x \\ f^{'} (x) & = & 0 + \frac{1}{x} \\ = & \frac{1}{x} \end{array}$

c) $f (x) = \ln x^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \ln x^{2} \\ = & 2 \cdot \ln x \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot \ln x^{'} \\ = & 2 \cdot \frac{1}{x} \\ = & \frac{2}{x} \end{array}$

2.4.71

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = e^{x} + \ln x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{x} + \ln x \\ f^{'} (x) & = & e^{x} + \frac{1}{x} \end{array}$

b) $g (x) = e^{x} \cdot \ln x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & e^{x} \cdot \ln x \\ g^{'} (x) & = & {(e^{x})}^{'} \cdot \ln x + e^{x} \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = & e^{x} \cdot \ln x + e^{x} \cdot \frac{1}{x} \\ = & \frac{x e^{x} \cdot \ln x + e^{x}}{x} \\ = & \frac{e^{x} (x \cdot \ln x + 1)}{x} \end{array}$

c) $h (x) = \frac{e^{x}}{\ln x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & \frac{e^{x}}{\ln x} \\ h^{'} (x) & = & \frac{{(e^{x})}^{'} \cdot \ln x - e^{x} \cdot \frac{1}{x}}{{(\ln x)}^{2}} \\ = & \frac{e^{x} \cdot \ln x \cdot x - e^{x} \frac{1}{x} \cdot x}{{(\ln x)}^{2} \cdot x} \\ = & \frac{e^{x} (x \ln x - 1)}{x {(\ln x)}^{2}} \end{array}$

2.4.72

a) Vi har funksjonen $f (x) = 2 \cdot 3^{x} + 5 \ln x$ . Hva er den momentane vekstfarten når $x = 3$ ?

Løsning

$f (x) = 2 \cdot 3^{x} + 5 \ln x$

Det er den deriverte som gir oss svaret på dette, så vi må finne $f^{'} (3)$ :

$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 2 \cdot 3^{x} \cdot \ln 3 + 5 \cdot \frac{1}{x} \\ = & 2 (3^{x} \ln 3) + \frac{5}{x} \\ f^{'} (3) & = & 2 (3^{3} \ln 3) + \frac{5}{3} \\ = & 60, 99 \approx 61, 0 \end{array}$

b) Vi har funksjonen $g (t) = 4 (\ln t)^{2}$ . Hva er den momentane vekstfarten når $t = 3$ ?

Løsning

$g (t) = 4 (\ln t)^{2}$

Vi bruker kjerneregelen og regel for derivasjon av logaritmefunksjoner:

$\begin{array}{rcl} u & = & \ln t \\ u^{'} & = & \frac{1}{t} \\ g (u) & = & 4 u^{2} \\ g^{'} (u) & = & 8 u \\ g^{'} (t) & = & u^{'} \cdot g^{'} (u) \\ = & \frac{1}{t} \cdot 8 \cdot \ln t \\ \frac{8 \ln t}{t} \\ g^{'} (3) & = & \frac{8 \cdot \ln 3}{3} \approx 2, 93 \end{array}$

2.4.73

Tømmer lastes på bil. Foto. — Image: Jørn B. Olsen, Rolf Sørensen / CC BY-NC-SA 4.0

Tømrerfirmaet Furefoss AS har en årsomsetning som er gitt ved $T (x) = 2 x \ln (3 x + 5) - 12$ . Her er $x$ tida målt i år, og $T (x)$ er årsomsetningen gitt i millioner kroner.

a) Hvor stor er årsomsetningen om 3 år?

Løsning

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Utklipp av CAS i GeoGebra. Linje 1 har T av x kolon er lik 2 multiplisert med x multiplisert med l n parentes 3 x pluss 5 parentes slutt minus 12. Svaret er gitt i linje 2 som T av 3 er tilnærmet lik 3,83. Skjermutklipp. — Image: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

Dette vil si at årsomsetningen er cirka 3,8 millioner kroner om 3 år.

b) Når er årsomsetningen over $20$ millioner kroner?

Løsning

Vi bruker CAS i GeoGebra:

CAS-utregning i GeoGebra. T av x er lik 20 komma x er lik 1. Svaret med N Løs x er lik 5,27. Skjermutklipp. — Image: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

Det vil ta omtrent $5$ år og $3$ måneder til firmaet har en årsomsetning på $20$ millioner kroner. Avrundet til hele år vil det ta $6$ år før firmaet har en årsomsetning på over $20$ millioner kroner.

c) Lag et uttrykk som viser hvor raskt årsomsetningen øker per år.

Løsning

Det er den deriverte som gir oss økningen i årsomsetning. Vi bruker CAS i GeoGebra: