Vi starter med å studere en logaritmelikning før vi går løs på logaritmeulikhetene.
Innledning
Når vi løser likninger med logaritmer, utnytter vi at to tierpotenser med like eksponenter er like.
Eksempel
Vi vet at funksjonen gitt ved vokser i hele definisjonsområdet. Det vil si at hvis a>b, så er 10a>10b, og tilsvarende hvis a<b, så er 10a<10b. Dette får vi bruk for når vi skal løse ulikheter med logaritmeuttrykk.
Et fortegnsskjema gir oversikten. Legg merke til at vi bare lager fortegnsskjema fra 0 til 5.
Løsningen blir
x∈2,3
Ulikheter kan også løses grafisk
I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=lgx+lg5-x (utrykket på venstre side i ulikheten ovenfor). I tillegg har vi tegnet den vannrette linja y=lg6 (høyre side i ulikheten).
Vi ser også grafisk at lgx+lg5-x⩾lg6 for x∈2,3.
Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.
Eksempel 5
Vi ønsker å løse andregradsulikheten lgx2+2lgx-3<0,x>0.
Først løser vi likningen lgx2+2lgx-3=0. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å sette u=lgx.
Grafen til funksjonen f gitt ved fx=lgx2+2lgx-3 er sammenhengende, derfor er det bare i nullpunktene at uttrykket lgx2+2lgx-3 kan skifte fortegn.
Vi tar «stikkprøver» i intervallene ⟨0,0.001⟩, ⟨0.001,10⟩ og ⟨10,→⟩, og lager fortegnsskjema.
For x=0,0001 får vi
lg0,00012+2lg0,0001-3=-42+2·-4-3=16-8-3=5
Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi
lg12+2lg1-3=02+2·0-3=-3
Uttrykket er negativt.
For x=100 får vi
lg1002+2lg100-3=32+2·2-3=5
Uttrykket er positivt.
Nedenfor har vi illustrert dette i et fortegnsskjema.
Løsning: (lgx)2+2lgx-3<0 når x∈⟨0.001,10⟩
Nedenfor har vi tegnet grafen til uttrykket lgx2+2lgx-3. Det er vanskelig å finne begge nullpunktene i samme bildet. Vi har derfor først tegnet grafen og funnet det ene nullpunktet 10,0, så har vi tegnet et forstørret bilde av grafen i et lite område for å finne det andre nullpunktet 0.001,0.