a)
Løsning
5x > 1255x > 53x > 3
b) 4·6x<36·2x
Løsning
4·6x < 36·2x6x2x < 364lg6x2x < lg9lg2x·3x2x < lg32xlg3 < 2lg3 lg3 er positiv, x < 2 derfor snur vi ikke ulikhetstegnet.
c) 300 000·13x < 100 000
Løsning
300 000·(13)x < 100 000(13)x < 100 000300 000xlg13 < lg13
lg13 er negativ, derfor snur vi ulikhetstegnet.
x > 1
d) 3,5+lgx > 6,5
Løsning
3,5+lgx > 6,5lgx > 310lgx > 103x > 1000
e) 3lnx2+2 > 14
Løsning
3lnx2+2 > 143·2lnx > 12lnx > 2|x| > e2x < -e2 ∨ x > e2
a) (lgx)2+lgx-2<0
1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?
Løsning
lgx er gyldig for x>0.
2) Løs ulikheten ved regning.
Løsning
Vi løser først likningen (lgx)2+lgx-2=0.
lgx = -1±12-4·1·(-2)2·1lgx = -1±32lgx = 1 ∨lgx = -2x = 101 ∨ x = 10-2x = 10 ∨ x = 0,01
Det er bare i nullpunktene at uttrykket kan skifte fortegn. Vi undersøker fortegnet til uttrykket i intervallene 〈0 , 0.01〉, 〈0.01 , 10〉 og 〈10, →〉.
For x=10-3 får vi:
(lg10-3)2+lg10-3-2=(-3)2+(-3)-2=9-3-2=4
Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi:
(lg1)2+lg1-3=02+1·0-2=-2
Uttrykket er negativt.
For x=102 får vi:
(lg102)2+lg102-2=(2)2+2-2=4
Uttrykket er positivt.
Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykket (lgx)2+lgx-2:
Vi har at (lgx)2+lgx-2<0 når x∈⟨0.01 , 10⟩.
b) ln(x+3)+lnx<ln4
1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?
Løsning
ln(x+3) er gyldig for x>-3, og lnx er gyldig for x>0. Det betyr at vi kun har løsning når x>0.
2) Løs ulikheten ved regning.
Løsning
ln(x+3)+lnx < ln4ln((x+3)·x) < ln4eln((x+3)·x) < eln4(x+3)·x < 4x2+3x < 4x2+3x-4 < 0
Vi løser først likningen x2+3x-4=0.
x = -3±32-4·1·(-4)2x = -3±52x = 1 ∨ x=-4
Vi har da x2+3x-4=(x-1)(x+4).
Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket (x-1)(x+4):
Vi har at ln(x+3)+lnx<ln4 når x∈⟨0 , 1⟩.
c) lg(6-x)+lgx≤lg5
1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?
Løsning
lg(6-x) er gyldig for x<6, og lgx er gyldig for x>0.
Det betyr at vi kun kan ha løsning når 0<x<6.
2) Løs ulikheten ved regning.
Løsning
lg(6-x)+lgx ≤ lg5lg((6-x)·(x)) ≤ lg510lg((6-x)·x) ≤ 10lg5(6-x)·x ≤ 5-x2+6x-5 ≤ 0
Vi løser først likningen:
-x2+6x-5 = 0.x = -6±62-4·(-1)·(-5)2·(-1)x = -6±4-2x = 1 ∨ x=5
Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket -(x-1)(x-5):
Vi har at lg(6-x)+lgx≤lg5 når x∈⟨0 , 1]∪[5, 6⟩.