Ulikheter med eksponentialuttrykk
Vi ønsker å løse eksponentialulikheten
For å finne ut litt om hvordan vi skal gå fram, løser vi først den tilsvarende eksponentiallikningen.
Siden logaritmen til like tall er like, tar vi logaritmen på begge sider.
Hvordan er det så med logaritmene til to tall som er forskjellige?
For å svare på det, må vi se på funksjonen g gitt ved
Grafen til
Det betyr at hvis
På grafen ser du at siden 10 er større enn 2, så er logaritmen til 10 større enn logaritmen til 2.
Motsatt må det da også gjelde at hvis
Hvis
I den siste overgangen har vi brukt den andre logaritmesetningen baklengs.
Ut fra dette kan vi slå fast at logaritmen til et tall mellom 0 og 1 er negativ, fordi alle tall mellom 0 og 1 kan skrives som ekte brøker, det vil si brøker der telleren er mindre enn nevneren. På samme måte kan vi vise at logaritmen til et tall som er større enn 1, alltid vil være positiv.
Dette er viktig å vite når vi skal avgjøre om vi må snu ulikhetstegnet eller ikke hvis vi multipliserer eller dividerer med samme tall på begge sider i en ulikhet.
Vi bruker at
Oppgave
Hvorfor snudde vi ulikhetstegnet i den siste overgangen?
Nedenfor kan du se en video der løsningen blir gjennomgått.
I eksempel 2 på siden Eksponentiallikninger fant vi ut hvor lenge et beløp på 1 000 kroner måtte stå i banken for å fordobles når renta var 6 prosent per år. Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før beløpet overstiger 2 000 kroner, har vi en ulikhet:
Oppgave
Hvorfor snudde vi ikke ulikhetstegnet i den siste overgangen?
Ved CAS i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt for deretter å finne tilnærmede verdier for løsningen. Det gjør vi ved å trykke direkte på knappen for tilnærmet utregning uten å skrive inn noe i linje 2.
I eksempel 3 i avsnittet om eksponentiallikninger fant vi hvor mange år det ville ta før verdien av Karis bil var sunket til 100 000 kroner. Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Bilens verdi synker med 10 prosent hvert år.
Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før bilens verdi har blitt mindre enn 100 000 kroner, så har vi en ulikhet.
Oppgave
Hvilken vei skal ulikhetstegnet stå på den siste linja i løsningen over?
Ved CAS i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt og finner deretter tilnærmet løsning, som vi gjorde i det forrige eksempelet.
Vi vil løse ulikheten
Vi kan ikke multiplisere
Vi må trekke sammen, faktorisere og bruke fortegnsskjema.
Vi setter
Nevneren blir 0 for
Vi tar "stikkprøver" i intervallene
For
Uttrykket er positivt.
For
Uttrykket er negativt siden
For
Uttrykket er positivt.
Nå kan vi tegne fortegnsskjema.
Løsningen på oppgaven blir at
Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning. Legg merke til at GeoGebra her ikke forenkler brøken i svaret til 2 når vi prøver å løse ulikheten eksakt, se linje 1. Dette blir kanskje løst i en senere versjon av programmet.