Skip to content
Article

Ulikheter med eksponentialuttrykk

En sentral teknikk ved løsing av eksponentiallikninger er å "ta logaritmen" på begge sider av likhetstegnet. Dette kan vi gjøre fordi logaritmene til like tall er like. Hva så med eksponentialulikheter?

Innledning

Vi ønsker å løse eksponentialulikheten

2·3x>3·4x

For å finne ut litt om hvordan vi skal gå fram, løser vi først den tilsvarende eksponentiallikningen.

2·3x=3·4x

Siden logaritmen til like tall er like, tar vi logaritmen på begge sider.

       lg2·3x = lg3·4x    lg2+lg3x = lg3+lg4x  lg2+x·lg3 = lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4 = lg3-lg2   xlg3-lg4 = lg3-lg2                x = lg3-lg2lg3-lg4

Hvordan er det så med logaritmene til to tall som er forskjellige?

For å svare på det, må vi se på funksjonen g gitt ved

gx=lgx

Grafen til g vokser for økende verdier av x i hele definisjonsområdet.

Det betyr at hvis  a>b, så er  lga>lgb.

På grafen ser du at siden 10 er større enn 2, så er logaritmen til 10 større enn logaritmen til 2.

Motsatt må det da også gjelde at hvis  a<b, så er  lga<lgb.

Hvis lga<lgb, har vi også

       lga < lgblga-lgb<0       lgab<0

I den siste overgangen har vi brukt den andre logaritmesetningen baklengs.

Ut fra dette kan vi slå fast at logaritmen til et tall mellom 0 og 1 er negativ, fordi alle tall mellom 0 og 1 kan skrives som ekte brøker, det vil si brøker der telleren er mindre enn nevneren. På samme måte kan vi vise at logaritmen til et tall som er større enn 1, alltid vil være positiv.

Dette er viktig å vite når vi skal avgjøre om vi må snu ulikhetstegnet eller ikke hvis vi multipliserer eller dividerer med samme tall på begge sider i en ulikhet.

Eksempel 1

2·3x>3·4x

Vi bruker at  a>blga>lgb, og tar logaritmen på begge sider.

       lg2·3x > lg3·4x   lg2+lg3x>lg3+lg4x  lg2+x·lg3>lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4>lg3-lg2 xlg3-lg4>lg3-lg2               x<lg3-lg2lg3-lg4

Oppgave

Hvorfor snudde vi ulikhetstegnet i den siste overgangen?

Forklaring

Vi snudde ulikhetstegnet fordi tallet vi deler på er mindre enn null.

 lg3-lg4<0

Nedenfor kan du se en video der løsningen blir gjennomgått.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Eksempel 2 – eksponentialulikheter med vekstfaktor større enn 1

I eksempel 2 på siden Eksponentiallikninger fant vi ut hvor lenge et beløp på 1 000 kroner måtte stå i banken for å fordobles når renta var 6 prosent per år. Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før beløpet overstiger 2 000 kroner, har vi en ulikhet:

1000·1,06x > 2·1000       1,06x>2   lg10,6x>lg2  x·lg1,06>lg2           x>lg2lg1,0612

Oppgave

Hvorfor snudde vi ikke ulikhetstegnet i den siste overgangen?

Forklaring

Vi trenger ikke snu ulikhetstegnet her siden  lg1,06>0.

Ved CAS i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt for deretter å finne tilnærmede verdier for løsningen. Det gjør vi ved å trykke direkte på knappen for tilnærmet utregning uten å skrive inn noe i linje 2.

Eksempel 3 – eksponentialulikheter med vekstfaktor mindre enn 1

I eksempel 3 i avsnittet om eksponentiallikninger fant vi hvor mange år det ville ta før verdien av Karis bil var sunket til 100 000 kroner. Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Bilens verdi synker med 10 prosent hvert år.

Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før bilens verdi har blitt mindre enn 100 000 kroner, så har vi en ulikhet.

200 000·0,90x < 100 000           0,90x<0,5      x·lg0,90<lg0,5                x  lg0,5lg0,906,6

Oppgave

Hvilken vei skal ulikhetstegnet stå på den siste linja i løsningen over?

Løsning

I den siste linja må vi snu ulikhetstegnet fordi  lg0,90<0  og vi derfor deler på et negativt tall. Den siste linja blir da

x>lg0,5lg0,906,6

Ved CAS i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt og finner deretter tilnærmet løsning, som vi gjorde i det forrige eksempelet.

Eksempel 4

Vi vil løse ulikheten

22x-3·2xx-34x-3        x3

Vi kan ikke multiplisere x-3 med nevneren på begge sider av ulikhetstegnet fordi uttrykket kan være positivt eller negativt alt etter hvilken verdi x har.

Vi må trekke sammen, faktorisere og bruke fortegnsskjema.

        22x-3·2xx-3  4x-322x-3·2xx-3-4x-30   2x2-3·2x-4x-30

Vi setter  u=2x  og faktoriserer telleren.

         u2-3·u-4 = 0                     u = --3±-32-4·1·-42·1                     u = 3±252                     u1 = -1    u2=4    2x+12x-4x-3  0

Nevneren blir 0 for  x=3. I telleren kan faktoren  2x+1  ikke bli 0 eller negativ siden 2x alltid er positiv. Telleren kan derfor bare skifte fortegn når

 2x-4 = 0     2x=4x·lg2=lg22      x=2lg2lg2=2

Vi tar "stikkprøver" i intervallene , 2, 2, 3 og 3, .

For  x=0  får vi

20-4·20+10-3=1-4·1+1-3=-3·+2-3 

Uttrykket er positivt.

For  x=2,5  får vi

22,5-4·22,5+12,5-3=22,5-3·22,5+1-0,5 

Uttrykket er negativt siden  22,5>22=4 siden 2x alltid vokser.

For  x=4  får vi

24-4·24+14-3=+12·+17+1 

Uttrykket er positivt.

Nå kan vi tegne fortegnsskjema.

Løsningen på oppgaven blir at x må være mindre enn eller lik 2 eller større enn 3. Løsningen blir

x, 2]3, 

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning. Legg merke til at GeoGebra her ikke forenkler brøken i svaret til 2 når vi prøver å løse ulikheten eksakt, se linje 1. Dette blir kanskje løst i en senere versjon av programmet.