Skip to content

Subject Material

Den deriverte til en potensfunksjon

Dette er den derivasjonsregelen du sannsynligvis får mest bruk for. Når vi deriverer polynomfunksjoner, bruker vi denne regelen.

Den deriverte til en potensfunksjon:

f(x)=xrf'(x)=r·xr-1

Bevis for regelen når eksponenten r=2:

fx=x2

f'(x) = limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2-x2x=limx0(x2+2xx+x2)-x2x=limx02xx+(x)2x=limx0x(2x+x)x=limx0x(2·x+x)x=limx02x+x=2x

Utforsking

Forsøk å bevise regelen for den deriverte til potensfunksjoner ved å bruke fx=x3.

Vi har tidligere sett at

  • når a er et reelt tall forskjellig fra 0 og n et naturlig tall, er a-n=def1an
  • når a er et positivt reelt tall, n et naturlig tall og m et helt tall, så er amn=amn=anm

Dette gjør at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukes i svært mange tilfeller.

Noen eksempler

Eksempel 1

Eksempel 2

Eksempel 3

f(x)=x2f'(x)=2x2-1=2x1=2x

f(x)=x3f'(x)=3x3-1=3x2

f(x)=x5f'(x)=5x4

Eksempel 4

Eksempel 5

Eksempel 6

f(x)=x=x1f'(x)=1x1-1=1x0f'(x)=1

fx=x=x12f'x=12x-12f'x=12x12f'x=12x

fx=1x=x-1f'x=-1·x-2f'x=-1x2

De markerte deriverte ovenfor bør du lære deg utenat.

CC BY-SAWritten by: Olav Kristensen and Stein Aanensen.
Last revised date 04/22/2021

Learning content

Derivasjonsregler og deriverbarhet