Article

Likningen for tangenten til en graf i et punkt

Vi ønsker å finne stigningen i et punkt på en graf. Da finner vi tangentlikningen ved å bruke den deriverte funksjonen og ettpunktsformelen fra matematikk 1T.

En funksjon $f$ er gitt ved

Funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med x i tredje minus 2 multiplisert med x i andre minus 1 er tegnet i et koordinatsystem med x fra minus 3 til 5. Skjermutklipp. — Image: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Hva er stigningen i punktet $x = 1$ ?

Vi finner likningen for tangenten til grafen når $x = 1$ .

Vi vet at tangenten må gå gjennom punktet $(1, f (1))$ . Derfor finner vi først $f (1)$ :

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 \\ = & 3 - 2 - 1 = 0 \end{array}$

Vi vet at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Tangeringspunktet er der $x = 1$ . Vi finner derfor $f^{'} (x)$ først:

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x$

Så vil vi finne tangenten når $x = 1$ . Vi regner ut $f^{'} (1)$ :

$f^{'} (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet $(1, 0)$ og har stigningstall $5$ . Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0 & = & 5 (x - 1) \\ y & = & 5 x - 5 \end{array}$

Utforsking

Vis at du kan komme fram til denne løsningen uten å bruke ettpunktsformelen.

Løsning

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Vi bruker likningen for ei rett linje $y = a x + b$ .

$x = 1$ må være et punkt på linja og på $f (x)$ .

$f (1) = 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 = 0$

Vi får punktet $(1, 0)$ som settes inn i likningen for ei rett linje:

$0 = a \cdot 1 + b$

Stigningstallet til tangenten er lik den deriverte

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x$

$f^{'} (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$ $a = 5$

i tangeringspunktet:

$\begin{array}{rcl} 0 & = & 5 \cdot 1 + b \\ - b & = & 5 \\ b & = & - 5 \end{array}$

Vi ender med formelen

$y = 5 x - 5$

Utforsking

Rules for use of text "Likningen for tangenten til en graf i et punkt"