Rasjonale funksjoner

En brøk kan ikke ha verdien 0 i nevneren. Hvis vi setter $x=-2$ inn i nevneren, får vi

$\begin{array}{rcl}-2+2 & =& 0\end{array}$

Funksjonen er ikke definert for $x=-2$.

Verditabellen blir slik:

Det kan se ut som at funksjonsverdiene vokser over alle grenser når x-verdien nærmer seg $-2$ fra negativ side.

Vi kan bruke denne verditabellen:

Det kan se ut at som funksjonsverdien kan bli så lav vi vil, bare vi velger en x-verdi nær nok $-2$ fra den positive siden.

Vi lager en verditabell der vi lar x bli veldig stor.

Det ser ut som at funksjonsverdien nærmer seg 1.

Vi lager en tilsvarende verditabell der vi lar x få verdiene $-10, -100, -1 000$ og $-10 000$.

Det ser ut som at funksjonsverdien nærmer seg 1 nå også, denne gangen fra oversiden. I forrige oppgave nærmet funksjonsverdien seg 1 nedenfra.

Se på teorisiden hvordan vi har skrevet matematisk hva som skjer med funksjonsverdien når $x\to -2^{-}$, for eksempel.

I oppgave a) hadde vi at f nærmer seg 1 nedenfra når x ble veldig stor. Vi skriver derfor

$f\left(x\right)\to 1^{-}$ når $x\to \infty$

Vi leser "$f\left(x\right)$ går mot $-1$ når x går mot uendelig".

Tilsvarende for oppgave b) får vi at

$f\left(x\right)\to 1^{+}$ når $x\to -\infty$

Sett opp en likning og prøv å løse den.

Vi krever at funksjonen f skal ha verdien 1. Det gir oss likningen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 1\\ \frac{x-2}{x+2} & =& 1 |·\left(x+2\right)\\ x-2 & =& x+2\\ x-x & =& 2+2\\ 0x & =& 4\\ & & \end{array}$

Likningen har ingen løsning. Funksjonen f kan ikke ha verdien 1.

Den loddrette (vertikale) asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x-2=0$, som gir $x=2$.

Den loddrette asymptoten blir $x=2$.

Den vannrette (horisontale) asymptoten finner vi ved å dele alle leddene i telleren og nevneren på høyeste potens av x, som er x. Da får vi

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}$

Når x går mot uendelig, går småbrøkene i telleren og nevneren mot 0, og f går mot $\frac{1}{1}=1$.

Den vannrette asymptoten blir $y=1$.

Vi tegner funksjonen f i GeoGebra og skriver kommandoen Asymptote(f) for å få tegnet asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}x+1 & =& 0\\ x & =& -1\end{array}$

Vannrett asymptote:

$g\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+1}=\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle 3-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 1+\frac{1}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{3}{1}=3$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=3$.

Vi tegner funksjonen g i GeoGebra og skriver kommandoen Asymptote(g) for å få tegnet asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x+4 & =& 0\\ 2x & =& -4\\ x & =& -2\end{array}$

Vannrett asymptote:

$h\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle 2+\frac{4}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{0}{2}=0$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=0$, eller x-aksen.

Vi tegner funksjonen h i GeoGebra og skriver kommandoen Asymptote(h) for å få tegnet asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x+3 & =& 0\\ 2x & =& -3\\ x & =& -\frac{3}{2}\end{array}$

Vannrett asymptote:

$i\left(x\right)=\frac{3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2x+3}=\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}-\frac{1}{2x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}=\frac{{\displaystyle 3-\frac{1}{2x}}}{{\displaystyle 2+\frac{3}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{3}{2}$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=\frac{3}{2}$.

Vi tegner funksjonen i i GeoGebra og skriver kommandoen Asymptote(i) for å få tegnet asymptotene.

Vi starter med å finne asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$

Vannrett asymptote:

$f\left(x\right)=\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{-2x}{x}+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle -2+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 1-\frac{1}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{-2}{1}=-2$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=-2$.

Vi lager en verditabell der vi velger noen x-verdier på hver sin side av den loddrette asymptoten.

Vi tegner først asymptotene og deretter punktene fra verditabellen. Så kan vi trekke opp grafen, og vi bruker at grafen til en rasjonal funksjon smyger seg inntil asymptotene.

Vi observerer at de to delene av grafen speiler hverandre. For rasjonale funksjoner med lineære nevnere og tellere vil det alltid være slik. Derfor trenger vi egentlig bare å regne ut noen punkter for den ene delen av grafen.

Vi starter med å finne asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}3x-2 & =& 0\\ 3x & =& 2\\ x & =& \frac{2}{3}\end{array}$

Vannrett asymptote:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{3x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{{\displaystyle 1-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 3-\frac{2}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{1}{3}$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=\frac{1}{3}$.

Skjæringspunkt med y-aksen: $f\left(0\right)=\frac{0-1}{3·0-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

Eventuelle skjæringspunkter med x-aksen (nullpunkter):

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ \frac{x-1}{3x-2} & =& 0 |·\left(3x-2\right)\\ x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$

Da vet vi at grafen går gjennom punktene $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(1,0\right)$. Asymptotene krysser hverandre i punktet $\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$. Punktet $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ligger over og til venstre for asymptotekrysset, mens punktet $\left(1,0\right)$ ligger under og til høyre for asymptotekrysset. Den ene grafdelen ligger derfor over og til venstre for asymptotekrysset, mens den andre ligger under og til høyre.

En skisse av grafen kan se slik ut:

Vi starter med å finne asymptotene.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Vannrett asymptote:

$g\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}+3}{2x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2x}+\frac{3}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{2}+\frac{3}{x}}}{{\displaystyle 2-\frac{2}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$ når x går mot uendelig.

Den vannrette asymptoten blir $y=\frac{1}{4}$.

Skjæringspunkt med y-aksen: $g\left(0\right)=\frac{{\displaystyle \frac{0}{2}}+3}{2·0-2}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$.

Eventuelle skjæringspunkter med x-aksen (nullpunkter):

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& 0\\ \frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}+3}{2x-2} & =& 0 |·\left(2x-2\right)\\ \frac{x}{2}+3 & =& 0\\ \frac{x}{2} & =& -3\\ x & =& -6\end{array}$

Da vet vi at grafen går gjennom punktene $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ og $\left(-6,0\right)$. Asymptotene krysser hverandre i punktet $\left(1,\frac{1}{4}\right)$. Punktet $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ ligger under og til venstre for asymptotekrysset. Det gjør også punktet $\left(-6,0\right)$. Den ene grafdelen ligger derfor under og til venstre for asymptotekrysset, mens den andre må ligge over og til høyre.

En skisse av grafen kan se slik ut:

Totalkostnadene er summen av de faste og de variable kostnadene. Når prisen er 0,49 kr per minutt, koster det $\mathrm{0,49}·x$ å ringe x minutter. Totalkostnaden blir derfor $\mathrm{0,49}x+59$ når vi tar med de faste kostnadene. Siden vi skal finne kostnadene per minutt, må vi dele på antall minutter, altså x. Kostnadene K per minutt x blir derfor

$K\left(x\right)=\frac{0,49x+59}{x}$

Vi skriver K(x)=Funksjon((0.49x+59)/x,0,1400) i algebrafeltet og får tegnet grafen i det aktuelle området.

Vi skriver inn punktet $(300, K(300\left)\right)$. Se punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre dersom Morten en måned ringte 300 minutter.

Vi tegner linja$y=0,60$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt $B$ på grafen. Han måtte ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skulle bli 60 øre.

Vi finner den vannrette asymptoten ved å som vanlig dele alle leddene i telleren og nevneren på høyeste potens av x.

$K\left(x\right)=\frac{0,49x+59}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{0,49x}{x}}+{\displaystyle \frac{59}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{0,49+{\displaystyle \frac{59}{x}}}{1}=0,49+\frac{59}{x}$

Når x går mot uendelig, vil brøken gå mot 0. Den vannrette asymptoten til funksjonen blir derfor

$y=0,49$

Når x blir stor, betyr det at Morten ringte svært mye. Da ville derfor kostnadene per minutt nærme seg 0,49 kroner. Det kan vi også observere når vi tegner linja $y=0,49$, se grafbildet i oppgave a).

Vi kan også si at dersom Morten ringte svært mye, betydde den faste månedsavgiften lite, og kostnaden per ringeminutt nærmet seg prisen per ringeminutt.

De variable kostnadene er 150 multiplisert med antall produserte hjelmer x. Legger vi til de faste kostnadene på 10 500 kroner, får vi totalkostnaden. Funksjonen K blir derfor

$K\left(x\right)=150x+10 500$

$K\left(300\right)=150·300+10 500=55 500$.

Det koster 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmer.

For å finne gjennomsnittskostnaden per hjelm må vi ta totalkostnaden, K, og dele på antall hjelmer, x.

$\begin{array}{ccl}f\left(x\right)& =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ & =& \frac{150x+10 500}{x}\\ & =& \frac{150x}{x}+\frac{10 500}{x}\\ & =& \frac{10 500}{x}+150\end{array}$

Vi skriver f(x)=Funksjon(10500/x+150,0,500) i algebrafeltet og får tegnet grafen i det aktuelle området.

Med en totalkostnad på 84 300 kr produseres det 492 sykkelhjelmer.

$\begin{array}{rcl}84 300& =& 150x+10 500\\ 84 300-10 500& =& 150x\\ x& =& 492\end{array}$

Dette gir en gjennomsnittskostnad på

$\begin{array}{rcl}f\left(492\right)& =& \frac{10 500}{492}+150\\ & =& 171,34\end{array}$

Når det produseres hjelmer for 84 300 kr, koster hver hjelm 171 kr i gjennomsnitt.

Vi har at $f\left(x\right)=\frac{10 500}{x}+150$. Da kan vi se med en gang at brøken går mot null når x går mot uendelig. Det betyr at den vannrette asymptoten til funksjonen er $y=150$. Det betyr videre at kostnadene per hjelm nærmer seg 150 kroner når det produseres svært mange hjelmer.

Vi finner som vanlig den vertikale asymptoten ved å finne nullpunktet til nevneren. Da får vi

$\begin{array}{rcl}2x-a & =& 0\\ 2x & =& a\\ x & =& \frac{a}{2}\end{array}$

Siden linja $x=\frac{2}{3}$ skal være vertikal asymptote til funksjonen, får vi at

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{2} & =& \frac{2}{3}\\ a & =& \frac{2}{3}·2\\ a & =& \frac{4}{3}\end{array}$

Vi finner som vanlig den horisontale asymptoten ved å dele alle leddene i telleren og nevneren på den høyeste potensen av x.

$g\left(x\right)=\frac{ax+2}{2x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{ax}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle a+\frac{2}{x}}}{{\displaystyle 2-\frac{1}{x}}}$

Funksjonen g går mot $\frac{a}{2}$ når x går mot uendelig. Siden linja $y=3$ skal være horisontal asymptote til funksjonen, får vi at

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{2} & =& 3\\ a & =& 6\end{array}$

Vi finner den loddrette asymptoten ved å sette nevneren lik 0.

$\begin{array}{rcl}x+b & =& 0\\ x & =& -b\end{array}$

Når $x=2$ skal være loddrett asymptote, betyr det at

$\begin{array}{rcl}-b & =& 2\\ b & =& -2\end{array}$

Vi finner den vannrette asymptoten ved å dele på høyeste potens av x i alle leddene i telleren og nevneren:

$h\left(x\right)=\frac{a{\displaystyle x}+3}{x+b}=\frac{{\displaystyle \frac{ax}{x}+\frac{{\displaystyle 3}}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{b}{x}}}=\frac{{\displaystyle a}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{b}{x}}}$

Når x går mot uendelig, vil funksjonen h gå mot $\frac{{\displaystyle a}}{1}=a$. Siden linja $y=1$ skal være vannrett asymptote, betyr det at $\begin{array}{rcl}a & =& 1\end{array}$.

Løsningen blir $a=1 \wedge b=-2$.

Vi finner den loddrette asymptoten ved å sette nevneren lik 0.

$\begin{array}{rcl}bx-a & =& 0\\ bx & =& a\\ x & =& \frac{a}{b}\end{array}$

Når $x=\frac{2}{5}$ skal være loddrett asymptote, betyr det at

$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$

Vi finner den vannrette asymptoten ved å dele på høyeste potens av x i alle leddene i telleren og nevneren:

$i\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{x}{a}}+3}{bx-a}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{ax}+\frac{{\displaystyle 3}}{x}}}{{\displaystyle \frac{bx}{x}}-{\displaystyle \frac{a}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}{b-{\displaystyle \frac{a}{x}}}$

Når x går mot uendelig, vil funksjonen i gå mot $\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}}{b}=\frac{1}{ab}$. Når $y=\frac{1}{10}$, betyr det at

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{ab} & =& \frac{1}{10}\\ ab & =& 10\end{array}$

Vi har nå to likninger med to ukjente som vi kan løse. Vi bruker innsettingsmetoden og tar utgangspunkt i den første likningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b} & =& \frac{2}{5}\\ a & =& \frac{2}{5}b\end{array}$

Vi setter dette inn i den andre likningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{2}{5}b·b & =& 10\\ b^2 & =& 10·\frac{5}{2}\\ b & =& \pm \sqrt{25}\\ & =& \pm 5\end{array}$

Vi får to sett med løsninger:

$\begin{array}{rcl}b & =& 5: a=\frac{2}{5}·5=2\\ b & =& -5: a=\frac{2}{5}·\left(-5\right)=-2\end{array}$

Vi kan ikke ha null i nevneren, altså er funksjonen ikke definert for$x=-2$.

Vi sjekker bruddpunktet $x=-2$. Hvis dette skal være en asymptote, kan ikke $x=-2$ være et nullpunkt for telleren også. Vi setter $-2$ inn i telleren og får

${\left(-2\right)}^2-4=4-4=0$

Funksjonen har derfor ingen vertikal asymptote.

Vi sjekker om vi kan finne en fast verdi som funksjonsverdien nærmer seg hvis vi lar x gå mot uendelig. Vi deler som vanlig på høyeste potens av x, som er $x^2$:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}$

Når x går mot uendelig, går telleren mot 1, mens nevneren går mot 0. Da går hele brøken mot uendelig og ikke mot en fast verdi. Da kan ikke funksjonen ha noen horisontal asymptote.

En rasjonal funksjon der telleren har høyere grad enn nevneren, vil aldri ha en horisontal asymptote (vi beviser ikke det her).

Telleren må inneholde faktoren $x-\left(-2\right)=x+2$. Vi prøver å faktorisere funksjonsuttrykket:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x+2}}=x-2$

Grafen blir ei rett linje! Men siden funksjonen ikke er definert for$x=-2$, blir det et brudd i grafen her. En tegning av grafen til f kan se slik ut der vi har markert bruddpunktet med et kryss siden GeoGebra ikke gjør det:

Vi ser at vi har$x-2$ i nevneren. Dette uttrykket er null når$x=2$, altså er funksjonen ikke definert for denne $x$-verdien.

Siden telleren er av andre grad og nevneren er av første grad, har telleren høyere grad enn nevneren, og funksjonen vil ikke ha vannrett asymptote.

Alternativ løsning: Vi deler alle leddene i telleren og nevneren på høyeste potens av x, som er $x^2$:

$g\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}$

Når x går mot uendelig, går telleren mot 1 og nevneren mot 0. Da går hele brøken mot uendelig og ikke en fast verdi. Funksjonen har derfor ingen vannrett asymptote.

Prøv polynomdivisjon!

$\begin{array}{l} \left(x^2-9\right):\left(x-2\right)=x+2-\frac{5}{x-2}\\ \underline{-\left(x^2-2x\right)}\\ 2x-9\\ \underline{-\left(2x-4\right)}\\ -5\end{array}$

Når x går mot uendelig, vil det siste leddet, som er en brøk, gå mot 0. Da nærmer funksjonsuttrykket seg den rette linja $y=x+2$.

Du lærer mer om slike skråasymptoter i S1 og R1.