Polynomfunksjoner

Eksempler på polynomer

Uttrykket $3x+3$ er et polynom av første grad fordi x er av første grad. Uttrykket $2x^2-2x+4$ er et polynom av andre grad fordi den høyeste eksponenten av x i uttrykket er 2. $x-4+2x^3$ er et eksempel på et tredjegradspolynom fordi den høyeste eksponenten av x her er 3.

Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to, og så videre. Fjerdegradspolynomet $-5+3x^3-x^2+7x^4$ skriver vi på ordnet form som $7x^4+3x^3-x^2-5$. Hvert potensledd har en koeffisient. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten til $x^2$ lik $-1$, og koeffisienten til x er lik 0 siden det ikke er et ledd der x er i første grad i polynomet.

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.

Analyse av polynomfunksjoner

Vi bruker de samme metodene som vi bruker når vi analyserer andregradsfunksjoner, og vi viser dette med et eksempel. Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$

i GeoGebra og finner nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkt med y-aksen.

Nullpunkter

Funksjonen har nullpunktene $x=-2,2, x=-0,8 \mathrm{og} x=1,6$.

Skjæring med 𝑦-aksen

Grafen skjærer $y$-aksen når $x=0$. Skjæringspunktet er $\left(0, -1\right)$.

Ekstremalpunkter

Grafen har toppunkt $\left(-1.6, 0.5\right)$. Grafen har bunnpunkt $\left(0.6, -1.3\right)$.

For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og sin høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier likevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt, det vil si i et lite område rundt punktet.

🤔 Tenk over: For andregradsfunksjoner tar vi gjerne med likningen for det vi kaller symmetrilinja i analysen. Symmetrilinja er den loddrette linja gjennom ekstremalpunktet. Hvorfor har vi ikke funnet noen symmetrilinje for eksempelfunksjonen vår?

For andre typer funksjoner kan det være aktuelt å ha med andre ting i analysen. Det kommer vi tilbake til der det er aktuelt.

Verdimengde

Definisjonsmengden til funksjonen er ikke avgrenset. Siden funksjonsverdiene ikke er begrenset av de to ekstremalpunktene, vil funksjonsverdien gå mot uendelig når x går mot uendelig, og minus uendelig når x går mot minus uendelig på grunn av tredjegradsleddet. Vi får derfor at

$V_f=\mathrm{ℝ}$

Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon

En bedrift har kommet fram til at overskuddet O i kroner ved å produsere og selge x enheter av en vare per dag er gitt ved

$O\left(x\right)=-\frac{3}{1 000}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2+100x-2 000$

Bedriften kan maksimalt produsere 200 enheter per dag.

Bedriften ønsker svar på

• hvor mange enheter de skal produsere for at overskuddet skal bli størst mulig

• når bedriften går med overskudd

🤔 Tenk over: Hva må vi finne for å finne det største mulige overskuddet?

🤔 Tenk over: Hva bør vi finne hvis vi skal finne ut når bedriften går med overskudd?

Siden bedriften maksimalt kan produsere 200 enheter per dag, kan vi sette definisjonsmengden til funksjonen til $\left[0,200\right]$. Vi tegner funksjonen innenfor dette intervallet med kommandoen "Funksjon" og finner ekstremalpunktene med verktøyet "Ekstremalpunkt" og nullpunktene med verktøyet "Nullpunkt".

Vi får at overskuddsfunksjonen har toppunktet $\left(81.23,2 865.48\right)$. Det største overskuddet er derfor omtrent 2 865 kroner ved 81 produserte enheter per dag.

Grafen ligger over x-aksen mellom de to nullpunktene. Det er i dette intervallet bedriften går med overskudd, altså når det produseres fra og med 22 til og med 131 enheter per dag.

Analyse av polynomfunksjoner uten hjelpemidler

Vi skal finne ut mest mulig om fjerdegradsfunksjonen

$f\left(x\right)=x^4-x^3-7x^2+13x-6$

uten hjelpemidler. Vi får oppgitt at funksjonen har nullpunkter for $x=1$ og $x=-3$.

Før du har lært om derivasjon, kan du ikke finne ekstremalpunkter til polynomfunksjoner av tredje grad eller høyere uten hjelpemidler. Derfor er det også vanskelig å finne verdimengden til slike funksjoner uten hjelpemidler. Det vi kan si om funksjonen vår, er at siden høyeste potens av x er 4, et partall, og koeffisienten foran $x^4$ er positiv, vil funksjonen ha ei nedre grense, eller det vi kaller et absolutt minimum. Dette finner du mer om på sidene om derivasjon.

Vi ser på nullpunktene til funksjonen.

🤔 Tenk over: Kan funksjonen ha flere nullpunkter enn de to som er oppgitt?

Ved hjelp av opplysningene om nullpunktene kan vi finne ut om funksjonen har flere nullpunkter. Siden det ene nullpunktet er 1, vil funksjonsuttrykket bestå av faktoren $\left(x-1\right)$, og tilsvarende gjelder for det andre nullpunktet. Funksjonsuttrykket kan derfor faktoriseres ved hjelp av de to oppgitte nullpunktene, og vi starter med å multiplisere sammen de to faktorene.

$\left(x-1\right)\left(x-\left(-3\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$

Funksjonsuttrykket til f må være delelig med dette uttrykket. Da kan vi utføre polynomdivisjon med uttrykket.

$\begin{array}{ccccccccccccccccccccccc}& (x^4& -& x^3& -& 7& x^2& +& 13& x& -& 6& )& :& (& x^2& +& 2x& -& 3& )& = & x^2-3x+2 \\ -(& x^4& +& 2x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & -& 3x^3& -& 4& x^2& +& 13& x& -& 6& & & & & & & & & & & \\ & -(& -& 3x^3 & -& 6& x^2& +& 9& x& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & 2& x^2& +& 4& x& -& 6& & & & & & & & & & & \\ & & & & -(& 2& x^2& +& 4& x& -& 6& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & \end{array}$

Så undersøker vi om kvotienten, $x^2-3x+2$, kan faktoriseres videre. Vi får at

$x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$

Funksjonen f har derfor disse nullpunktene:

• $x=-3$

• $x=1$ (dobbelt nullpunkt)

• $x=2$

🤔 Tenk over: Hvor mange nullpunkter kan en fjerdegradsfunksjon ha?

Film om polynomfunksjoner

I filmen er det brukt en eldre versjon av GeoGebra, men det er bare utseendet som er forskjellig her.