Polynomfunksjoner

Vi finner grafisk bunnpunktet (0.59, 2.17) og toppunktet (3.41, 7.83) med verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi finner grafisk med verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra at funksjonen har nullpunktet $x=5,05$.

Skjæringspunktet med andreaksen er (0, 3), som vi finner ved å skrive (0,f(0)).

Å analysere en funksjon betyr at vi finner ut mest mulig om den. Her betyr det å finne eventuelle

• toppunkter
• bunnpunkter
• skjæringspunkter med koordinataksene

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at funksjonen har et toppunkt i (0, 4) og et bunnpunkt i (2, 3.2). Toppunktet er samtidig skjæringspunkt med y-aksen.

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt", finner vi at funksjonen har nullpunktet $x=-2$.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at funksjonen har et toppunkt i (0.84, 2.08) og bunnpunkter i $\left(-0.59, -1.62\right)$ og i (2, 0).

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt" finner vi at funksjonen har nullpunktene $x=-1, x=0$ og $x=2$. Legg merke til at grafen har et bunnpunkt i det ene nullpunktet.

Fra nullpunktene har vi at grafen skjærer andreaksen i (0, 0) (origo).

Hvis a er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis a er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.

d er konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

Her er det litt avhengig av b, så her er det bare å teste ut!

Test ut!

Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet A(1.8, 0.3) og i bunnpunktet B(7.6, -0.7).

Den høyeste temperaturen har vi i det høyre endepunktet på grafen, det vil si klokka 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten 2 °C. Den laveste temperaturen er i bunnpunktet. $7,6 \mathrm{h}=7 \mathrm{h} 0,6·60 \min =7 \mathrm{h} 36 \min$. Den laveste temperaturen er klokka 07.36, og da er temperaturen minus 0,7.

Vi har nullpunkt for $x=0$, $x=4$ og $x=10$.

Nullpunkta viser når temperaturen var 0 °C. Det var han ved midnatt, klokka 4 og klokka 10.

Vi skriver for enkelthets skyld r i stedet for $r\left(h\right)$ i utregningen nedenfor:

$\begin{array}{rcl}d+h& = & 2,2\\ 2r+h& =& 2,2\\ 2r& =& 2,2-h\\ r& =& \frac{2,2-h}{2}\end{array}$

Vi får at $r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$, som vi skulle vise.

Høyden h må være mindre enn 2,2 dm. Hvis høyden er 2,2 dm, er radien 0, og da har vi ingen sylinder. Høyden må også være større enn 0. Vi får at

$D_r=\langle 0, 2.2\rangle$

Volumet til en sylinder er gitt ved $V=\pi r^2·h$. Vi bruker uttrykket fra a) og får $V\left(h\right)=\pi r^2·h=\pi {\left(\frac{2,2-h}{2}\right)}^2·h=\frac{\pi }{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h$.

$V\left(h\right)=\frac{\pi }{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h=\frac{\pi h}{4}\left(4,84-4,4h+h^2\right)=\frac{\pi }{4}\left(4,84h-4,4h^2+h^3\right)$

Dette er en tredjegradsfunksjon siden høyeste potens av h er 3.

Vi tegner grafen til $V\left(h\right)$ i GeoGebra ved å skrive

V(h)=Funksjon(pi/4·(2.2-h)^2·h, 0, 2.2)

Vi leser av punktet $\left(1, V\left(1\right)\right)$ på grafen ved å skrive inn (1, V(1)). Se punktet A på figuren nedenfor.

Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm.

Vi tegner linja $y=1$og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene B og C på figuren nedenfor.

Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $V\left(h\right)$.

Vi får av toppunktet D på figuren at det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter, og da er høyden i sylinderen 0,73 dm.

Det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter. Volumet må være større enn 0, ellers har vi ikke en sylinder. Verdimengden til $V\left(h\right)$ blir derfor

$V_V=⟨0, 1.24]$

Linje 1 gir oss uttrykket for r som funksjon av h. Vi skriver inn uttrykket som funksjonen $r\left(h\right)$ i linje 2 og i linje 3 bruker vi funksjonen når vi definerer funksjonen for volumet av sylinderen. I linje 4 bruker vi verktøyet "RegnUt" $\boxed{\underset{}{\overset{}{ ✓ }}}$ for å multiplisere ut funksjonsuttrykket til $V\left(h\right)$ og ser at det er en tredjegradsfunksjon siden høyeste potens av h er 3.

Linje 5 gir oss at volumet av en sylinder med høyde lik 1 dm er 1,13 liter. Linje 6 gir oss at når volumet av sylinderen er 1 liter, er høyden enten 0,39 dm eller 1,15 dm. Den siste løsningen er utenfor definisjonsmengden til $V\left(h\right)$.

Linje 7 gir oss at det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter. Da er høyden 0,73 dm. Verdimengden til funksjonen $V\left(h\right)$ blir derfor $V_V=⟨0, 1.24]$.

Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a):

$r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$

Vi har definert denne funksjonen i CAS i forrige oppgave, og vi trenger bare éi linje i CAS for å regne ut de to radiene når vi bruker sløyfeparentes.

Linje 5 gir oss at radius i en sylinder som har et volum på 1,0 liter, enten er 0,91 dm eller 0,53 dm.

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at tredjegradsfunksjonen

$T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$

passer godt som modell for temperaturutviklingen.

Vi observerer at modellen passer best fram til klokka 15. Så synker temperaturen raskere enn det modellen gir.

Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig fordi tredjegradsfunksjonen bare er synkende etter toppunktet rett etter klokka 17.

Bunnen blir et kvadrat. For å finne lengden av sidekanten må vi ta 60 og trekke fra bredden av to lyseblå rektangler, som hver har bredde lik x. Da får vi at

$l=60-2x$

Arealet G til bunnen, det vi kaller grunnflata, blir også en funksjon av x. Vi får

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& = & {\left(60-2x\right)}^2\\ & =& {60}^2-2·60·2x+{\left(2x\right)}^2\\ & =& 3 600-240x+4x^2\end{array}$

Høyden på eska blir x. Vi må multiplisere grunnflata med høyden for å få volumet, her kalt V.

$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& = & G\left(x\right)·h\\ & =& \left(3 600-240+4x^2\right)·x\\ & =& 3 600x-240x^2+4x^3\\ & =& 4x^3-240x^2+3 600x\end{array}$

Volumet er altså en polynomfunksjon av tredje grad.

Vi ser også at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få ei eske. Hvis $x=0$, klipper vi ikke bort noe, og hvis $x=30$, får vi ingen bunn, vi klipper bort hele papplata. Definisjonsmengden er da

$D_V=⟨0, 30⟩$

Vi skriver V(x)=Funksjon(4x^3-240x^2+3600x,0,30) i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" for å finne eventuelle ekstremalpunkter.

Vi får et toppunkt i $\left(10, 16 000\right)$. Det vil si at det største volumet eska kan få, er $16 000 {\mathrm{cm}}^3$. Da må vi klippe bort kvadrater med sidekant 10 cm fra hjørnene på papplata.

Siden toppunktet er $\left(10, 16 000\right)$ og volumet ikke kan være 0, får vi at verdimengden er

$V_V=⟨0, 16 000]$

Vi må finne ut når volumfunksjonen har verdien 10 000, det vil si vi må løse likningen

$V\left(x\right)=10 000$

Vi løser likningen ved å tegne linja $y=10 000$ og finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til $V\left(x\right)$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Vi må klippe bort kvadrater med sidekant 3,6 cm eller 18,3 cm fra hjørnene på papplata for at volumet av eska skal bli $10 000 {\mathrm{cm}}^3$.

På linje 1 skriver vi inn volumfunksjonen ved å skrive inn grunnflata multiplisert med høyden. Legg merke til at vi normalt ikke skriver inn funksjoner med begrensninger i definisjonsmengden i CAS, siden CAS takler dette dårlig. Fra linje 2 får vi at det største volumet eska kan få, er $16 000 {\mathrm{cm}}^3$, og da må vi klippe bort kvadrater med sidekant 10 cm fra hjørnene på papplata. Fra linje 3 får vi at volumet av eska blir $10 000 {\mathrm{cm}}^3$ når vi klipper bort kvadrater med sidekanter på 3,6 cm eller 18,3 cm. Den siste løsningen er utenfor det aktuelle området for x.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger "Regresjonsanalyse". Vi velger modellen "Polynom" med grad 2.

En andregradsfunksjon som passer godt med tallene, er

$f\left(x\right)=0,617x^2-11,0x+86,6$

Vi bruker den symbolske utregningen i regresjonsanalysevinduet og får at antall solgte is den 15. august blir 60.

Av formen på grafen i a) får vi at salget vil fortsette å stige utover høsten. Det er ikke veldig sannsynlig når det blir gradvis kaldere.

Vi velger grad 3 på modellen "Polynom" i regresjonsanalyseverktøyet og får at en tredjegradsfunksjon som passer godt med tallene, er

$g\left(x\right)=-0,08x^3+1,78x^2-15,93x+91,75$

Den symbolske utregningen gir at salget av is den 15. august er negativt. Modellen passer enda dårligere enn modellen i oppgave a) fordi en tredjegradsfunksjon med negativ koeffisient foran tredjegradsleddet går mot minus uendelig ettersom x blir større.

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt" til å finne nullpunktene til funksjonen og topp- og bunnpunktene på grafen.

Nullpunkt: $x=-1$ og $x=3$

Toppunkt: $\left(-1,0\right)$

Bunnpunkt: $\left(1.67,-9.48\right)$

Det spesielle er at nullpunktet $\left(-1,0\right)$ samtidig er et toppunkt.

Siden ett av nullpunktene er $x=-1$, vet vi at vi kan trekke ut faktoren $\left(x+1\right)$ fra funksjonsuttrykket. Vi bruker polynomdivisjon:

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& (x^3& -& x^2& -& 5x& -3)& :& (x& +& 1)& =x^2& -& 2x& -& 3\\ -& (x^3& +& x^2)& & & & & & & & & & & & \\ & & -& 2x^2& -& 5x& -3& & & & & & & & & \\ & & -& (2x^2& -& 2x)& & & & & & & & & & \\ & & & & & -3x& -3& & & & & & & & & \\ & & & & -& (-3x& -3)& & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Siden vi har et nullpunkt for $x=3$, vet vi at vi kan sette faktoren $\left(x-3\right)$ utenfor faktoren $x^2-2x-3$. Da får vi

$x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)$

Vi kan derfor skrive funksjonen f på faktorisert form som

$f\left(x\right)=x^3-x^2-5x-3=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)=\left(x-3\right){\left(x+1\right)}^2$

Når vi faktoriserer funksjonsuttrykket til f, får vi to faktorer av typen $\left(x+1\right)$. Nullpunktet $x=-1$ kalles derfor også et dobbelt nullpunkt. Det er også derfor funksjonen bare har to nullpunkter. Dette skjer når et nullpunkt samtidig er et ekstremalpunkt slik som her. Da krysser ikke grafen x-aksen i dette nullpunktet.

Når en tredjegradsfunksjon har to nullpunkter, kan ikke grafen krysse x-aksen i mer enn ett av nullpunktene. For dersom den gjorde det, må det være tre nullpunkter på grafen. Se illustrasjonen nedenfor der vi har tegnet grafen til en ukjent tredjegradsfunksjon g som ligger rett over grafen til f.

Vi kan skrive f på faktorisert form ved hjelp av de tre nullpunktene. Vi får at

$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-1\right)=a\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Konstanten a bestemmer vi ved at $f\left(0\right)=-1$:

$\begin{array}{rcl}a\left(0+2\right)\left(0+1\right)\left(0-1\right) & =& -1\\ -2a & =& -1\\ a & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Vi gjør en polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Siden funksjonen har et nullpunkt for $x=-1$, er den delelig med $\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x+1\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2-6x-8\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x-8\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2-6x-8& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ -8x-8& & \\ \underline{-(-8x-8)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer kvotienten videre og får at

$x^2+2x-8=\left(x+4\right)\left(x-2\right)$

I tillegg til $x=-1$ har funksjonen $g\left(x\right)$ nullpunktene $x=-4$ og $x=2$.

Vi gjør en polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Siden funksjonen har et nullpunkt for $x=2$, er den delelig med $\left(x-2\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-3x^2+4\right):\left(x-2\right)& =& x^2-x-2\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ -x^2 +4& & \\ \underline{-\left(x^2+2x\right) }& & \\ -2x+4& & \\ \underline{-(-2x+4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer kvotienten videre og får at

$x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

I tillegg til $x=2$, som er et dobbelt nullpunkt, har funksjonen h nullpunktet $x=-1$.

Vi gjør en polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Siden funksjonen har et nullpunkt for $x=-1$, er den delelig med $\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x+1\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2+5x+3\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x+3\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2+5x+3& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ 3x+3& & \\ \underline{-(3x+3)}& & \\ 0& & \end{array}$

Kvotienten $x^2+2x+3$ kan ikke faktoriseres videre. For å bevise det kan vi tenke oss at vi setter uttrykket lik 0. Diskriminanten i abc-formelen blir

$b^2-4ac=2^2-4·1·3=4-12=-8$

Siden diskriminanten er negativ, har likningen ingen løsning. Kvotienten har derfor ingen nullpunkter og kan ikke faktoriseres.

Funksjonen $i\left(x\right)$ har derfor bare nullpunktet $x=-1$.

Dersom koeffisienten foran tredjegradsleddet er positiv, vil funksjonen gå mot uendelig når x går mot uendelig. Funksjonen vil gå mot minus uendelig når x går mot minus uendelig. Da må grafen krysse x-aksen minst ett sted slik at funksjonen må ha minst ett nullpunkt.

Det samme gjelder dersom koeffisienten foran tredjegradsleddet er negativ. Da vil funksjonen gå mot minus uendelig når x går mot uendelig, og mot uendelig når x går mot minus uendelig. Da må grafen krysse x-aksen minst ett sted, som gir samme konklusjon.

En tredjegradsfunksjon må derfor alltid ha minst ett nullpunkt.

Funksjonsuttrykket må være delelig med $\left(x-2\right)$ og $\left(x+3\right)$. Da er det også delelig med produktet

$\left(x-2\right)\left(x+3\right)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$

Vi gjør en polynomdivisjon:

$\begin{array}{lc} \left(x^4+3x^3-x^2-9x-18\right):\left(x^2+x-6\right)& =x^2+2x+3\\ \underline{-\left(x^4+x^3-6x^2\right) }& \\ 2x^3+5x^2-9x-18& \\ \underline{-\left(2x^3+2x^2-12x\right) }& \\ 3x^2+3x-18& \\ \underline{-\left(3x^2+3x-18\right) }& \\ 0& \end{array}$

Kvotienten $x^2+2x+3$ kan ikke faktoriseres videre, som vi fant ut i oppgave d).

Funksjonen j har derfor kun nullpunktene $x=2$ og $x=-3$.

Løsning uten hjelpemidler:

Funksjonsuttrykket må være delelig med $\left(x-2\right)$. Vi gjør polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+0x^2+\left(a-4\right)x-2a\right):\left(x-2\right)& =& x^2+2x+a\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 2x^2+\left(a-4\right)x-2a& & \\ \underline{-\left(2x^2 -4x\right) }& & \\ ax-2a& & \\ \underline{-(ax-2a)}& & \\ 0& & \end{array}$

Så må vi finne nullpunktene til kvotienten $x^2+2x+a$. Vi setter kvotienten lik 0 og løser likningen med andregradsformelen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+a & =& 0\\ & & \\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·a}}{2·1}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4\left(1-a\right)}}{2}\\ & =& \frac{-2\pm 2\sqrt{1-a}}{2}\\ & =& -1\pm \sqrt{1-a}\end{array}$

1. Likningen har to løsninger. Da må det som står under rottegnet, være større enn 0, som betyr at $a<1$. Da vil funksjonen ha totalt tre nullpunkter inkludert nullpunktet $x=2$.

2. Likningen har én løsning. Da må det som står under rottegnet, være lik 0, som betyr at $a=1$. Da vil funksjonen ha totalt to nullpunkter inkludert nullpunktet $x=2$.

3. Likningen har ingen løsninger. Da må det som står under rottegnet, være mindre enn 0, som betyr at $a>1$. Da vil funksjonen ha bare ett nullpunkt: $x=2$.

Løsning med hjelpemidler:

I linje 2 polynomdividerer vi $p\left(x\right)$ med $\left(x-2\right)$. I linje 3 setter vi resultatet lik 0 og løser likningen. I linje 4 finner vi ut når det som står under rottegnet i løsningen i linje 3, er større enn eller lik null. Vi får samme resultat som vi gjorde uten hjelpemidler.