Rasjonale funksjoner

Eksempel

Funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$ er en rasjonal funksjon siden både telleren og nevneren er polynomer av første grad.

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at $f(-2)$ ikke er definert siden nevneren blir null for denne x-verdien.

🤔 Tenk over: Kan grafen til funksjonen f være en sammenhengende graf?

Vi sier at grafen har et brudd eller et bruddpunkt for $x=-2$.

Vi tegner grafen til f i GeoGebra.

Grafen til funksjonen f består av to separate deler.

Loddrett (vertikal) asymptote

I eksempelet over kan det se ut som at den delen av grafen for x-verdier mindre enn $-2$ bøyer av og går tilnærmet loddrett oppover når x nærmer seg verdien $-2$. Det motsatte gjelder for den andre delen av grafen. Gå til oppgave 1 på oppgavesiden "Rasjonale funksjoner" for å utforske mer om dette før du går videre her.

Grafen kryper inntil den loddrette linja $x=-2$ gitt av bruddpunktet. Vi kaller denne linja for den loddrette eller den vertikale asymptoten til funksjonen.

Vi skriver

$f\left(x\right)\to \infty$ når $x\to -2^{-}$

Vi leser "$f\left(x\right)$ går mot uendelig når $x$ går mot $-2$ fra negativ side".

🤔 Tenk over: Hvordan skal vi skrive og lese hva som skjer når x nærmer seg $-2$ fra positiv side?

Framgangsmåte

Vi finner loddrette asymptoter ved å finne nullpunktene til nevneren i den rasjonale funksjonen. Vi må i tillegg sjekke at ikke telleren også er lik null for disse x-verdiene. Hvorfor? Det kan du utforske mer i noen av oppgavene.

Vannrett (horisontal) asymptote

Vi går tilbake til funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$. Det kan se ut som at grafen flater ut når x blir stor. Det samme ser ut til å skje i motsatt ende av grafen. Gå til oppgave 2 for å utforske dette nærmere.

Det kan vises at når x går mot uendelig eller minus uendelig, nærmer f seg verdien 1. I oppgave 2 viser vi også at f aldri kan ha verdien 1. Linja $y=1$ er derfor en vannrett eller en horisontal asymptote for funksjonen f. Nedenfor har vi tegnet grafen til f med begge asymptotene.

Vi ser at grafen til f smyger seg inntil begge asymptotene.

Finne vannrett asymptote uten å tegne grafen

Vi ser nok en gang på funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$. Når vi skal lete etter andre asymptoter enn loddrette, ser vi alltid på hva som skjer når x blir veldig stor, eller veldig stor og negativ.

Vi ser på telleren $x-2$. Når x blir veldig stor eller veldig stor og negativ, blir konstantleddet $-2$ ubetydelig. Det betyr at telleren rett og slett nærmer seg x når x blir stor. Det samme får vi i nevneren: Den går også mot x når x blir veldig stor (eller veldig stor og negativ). Hele funksjonsuttrykket nærmer seg da $\frac{x}{x}$, som er lik 1. Matematisk kan vi, når vi lar x gå mot uendelig, skrive

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\to \frac{x}{x}=1$ når $x\to \infty$

Framgangsmåte

Vi kan bruke metoden over for å finne en eventuell vannrett asymptote. I praksis er det enklest å dele alle leddene i telleren og i nevneren på den høyeste potensen av x. I vårt tilfelle er den høyeste potensen av x x i første, altså bare x. Da får vi

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}}$

Nå er det kanskje enklere å se hva som skjer når x går mot uendelig: De to småbrøkene med x i nevneren går mot null, og uttrykket går mot $\frac{1}{1}=1$. Konklusjonen blir at $y=1$ er vannrett asymptote for funksjonen f.

Asymptoter med GeoGebra

I GeoGebra får du tegnet asymptotene til en rasjonal funksjon med kommandoen "Asymptote(Funksjon)".

Analyse av rasjonale funksjoner

Analyse av rasjonale funksjoner betyr i tillegg til å finne eventuelle nullpunkter og skjæringspunktet med y-aksen å finne asymptotene til funksjonen. Asymptotene er til god hjelp hvis du skal tegne eller skissere grafen til funksjonen uten hjelpemidler. Det kan også være aktuelt å bestemme verdimengden til slike funksjoner.

Video om rasjonale funksjoner

I videoen er det brukt en eldre versjon av GeoGebra, men det er bare utseendet som er forskjellig her.