Task

Kjerneregelen

Øv på å derivere sammensatte funksjoner ved hjelp av kjerneregelen. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Ulike typer nøtter og kjerner ligger på ei flate. Illustrasjon.

Kjerneregelen

$f (x) = g (u (x)), f' (x) = g' (u) \cdot u' (x)$

Oppgave 1

Bruk kjerneregelen til å derivere funksjonsuttrykkene nedenfor.

Tips til oppgavene

Finn kjernen $u$ .
Finn deretter $g (u)$ og $u (x)$ .
Regn ut $g' (u)$ og $u' (x)$ .
Sett sammen, og finn $f' (x)$ til slutt.

a) $f (x) = {(4 x - 1)}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} f (x) & = & {(4 x - 1)}^{2}, u = 4 x - 1 \\ g (u) & = & u^{2}, g' (u) = 2 u \\ u (x) & = & 4 x - 1, u' (x) = 4 \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & 2 u \cdot 4 \\ = & 8 u \\ = & 8 (4 x - 1) \end{array} \end{array}$

b) $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sqrt{x^{2} - 1} \\ f (x) & = & {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}, u = (x^{2} - 1) \\ g (u) & = & u^{\frac{1}{2}}, g' (u) = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \\ u (x) & = & x^{2} - 1, u' (x) = 2 x \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x \\ = & \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{(x^{2} - 1)}} \cdot 2 x \\ = & \frac{2 x}{2 \sqrt{(x^{2} - 1)}} \\ = & \frac{x}{\sqrt{(x^{2} - 1)}} \end{array}$

c) $f (x) = {(2 x^{2} - \frac{1}{4} x)}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & {(2 x^{2} - \frac{1}{4} x)}^{2}, u = (2 x^{2} - \frac{1}{4} x) \\ g (u) & = & u^{2}, g' (u) = 2 u \\ u (x) & = & 2 x^{2} - \frac{1}{4} x, u' (x) = 4 x - \frac{1}{4} \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & 2 u \cdot (4 x - \frac{1}{4}) \\ = & 2 \cdot (2 x^{2} - \frac{1}{4} x) \cdot (4 x - \frac{1}{4}) \\ = & (4 x^{2} - \frac{1}{2} x) \cdot (4 x - \frac{1}{4}) \\ = & (16 x^{3} - x^{2} - 2 x^{2} + \frac{1}{8} x) \\ = & 16 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{1}{8} x \end{array}$

d) $f (x) = 6 \sqrt[3]{x^{2} + 2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 6 \sqrt[3]{x^{2} + 2} \\ f (x) & = & 6 \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3}}, u = x^{2} + 2 \\ g (u) & = & 6 u^{\frac{1}{3}}, g' (u) = 6 \cdot \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \\ u (x) & = & x^{2} + 2, u' (x) = 2 x \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & 6 \cdot \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \cdot 2 x \\ = & 2 u^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 x \\ = & 2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 x \\ = & \frac{4 x}{{(\sqrt[3]{x^{2} + 2})}^{2}} \end{array}$

Oppgave 2

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = {(2 x^{2} - 4)}^{3}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & {(2 x^{2} - 4)}^{3}, u = 2 x^{2} - 4 \\ g (u) & = & u^{3}, g' (u) = 3 u^{2} \\ u (x) & = & 2 x^{2} - 4, u' (x) = 4 x \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & 3 u^{2} \cdot 4 x \\ = & 3 {(2 x^{2} - 4)}^{2} \cdot 4 x \\ = & 3 (4 x^{4} - 2 \cdot 2 x^{2} \cdot 4 + 16) \cdot 4 x \\ = & 12 x (4 x^{4} - 16 x^{2} + 16) \\ = & 48 x (x^{4} - 4 x^{2} + 4) \end{array}$

b) $f (x) = {(x^{2} - 4 x + 3)}^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & {(x^{2} - 4 x + 3)}^{2}, u = x^{2} - 4 x + 3 \\ g (u) & = & u^{2}, g' (u) = 2 u \\ u (x) & = & x^{2} - 4 x + 3, u' (x) = 2 x - 4 \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & 2 u \cdot (2 x - 4) \\ = & 2 (x^{2} - 4 x + 3) \cdot (2 x - 4) \\ = & 4 (x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 2) \end{array}$

c) $f (x) = {(3 x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & {(3 x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}, u = 3 x^{2} - 2 \\ g (u) & = & u^{\frac{3}{2}}, g' (u) = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \\ u (x) & = & 3 x^{2} - 2, u' (x) = 6 x \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x \\ = & \frac{3}{2} {(3 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x \\ = & 9 x \sqrt{3 x^{2} - 2} \end{array}$

Oppgave 3

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sqrt{x^{2} - 4}, u = x^{2} - 4 \\ g (u) & = & u^{\frac{1}{2}}, g' (u) = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \\ u (x) & = & x^{2} - 4, u' (x) = 2 x \\ f' (x) & = & g' (u) \cdot u' (x) \\ = & \frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x \\ = & \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \end{array}$

b) $f (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{2}}{x}$

Løsning

$f (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{2}}{x} = \frac{u (x)}{v (x)}$

der

$u (x) = {(x^{2} + 2)}^{2}, v (x) = x$

Dette gir

$u' (x) = 2 \cdot (x^{2} + 2) \cdot 2 x = 4 x (x^{2} + 2), v' (x) = 1$

Vi brukte kjerneregelen i derivasjonen av $u (x)$ . Vi bruker brøkregelen og får

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{x^{2}} \\ = & \begin{array}{r} \frac{4 x (x^{2} + 2) \cdot x - {(x^{2} + 2)}^{2} \cdot 1}{x^{2}} \end{array} \\ = & \begin{array}{l} \frac{(x^{2} + 2) (4 x^{2} - (x^{2} + 2))}{x^{2}} \end{array} \\ = & \frac{(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 2)}{x^{2}} \end{array}$

Oppgave 4

Deriver funksjonene.

a) $f (x) = \frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f \end{array} \begin{array}{rcl} (x) \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \end{array}$

Vi bruker brøkregelen og kjerneregelen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \\ f' (x) & = & \frac{(2 x)' \cdot {(x - 3)}^{2} - 2 x \cdot ({(x - 3)}^{2})'}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}} \\ = & \frac{2 \cdot {(x - 3)}^{2} - 2 x \cdot 2 (x - 3) \cdot 1}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}} \\ = & \frac{2 {(x - 3)}^{2} - 4 x (x - 3)}{{(x - 3)}^{4}} \\ = & \frac{2 (x - 3) - 4 x}{{(x - 3)}^{3}} \\ = & \frac{2 x - 6 - 4 x}{{(x - 3)}^{3}} \\ = & \frac{- 6 - 2 x}{{(x - 3)}^{3}} \end{array}$

b) $\begin{array}{rcl} f \end{array} \begin{array}{rcl} (x) \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{2 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f \end{array} \begin{array}{rcl} (x) \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} = \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{2 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} \end{array}$

Vi bruker brøkregelen og kjerneregelen:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{(2 x^{2})' \cdot {(3 x - 2)}^{2} - 2 x^{2} \cdot ({(3 x - 2)}^{2})'}{{({(3 x - 2)}^{2})}^{2}} \\ = & \frac{4 x \cdot {(3 x - 2)}^{2} - 2 x^{2} \cdot 2 (3 x - 2) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{4}} \\ = & \frac{4 x \cdot (3 x - 2) - 12 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ = & \frac{12 x^{2} - 8 x - 12 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ = & \frac{- 8 x}{{(3 x - 2)}^{3}} \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Kjerneregelen(DOCX)
Kjerneregelen(PDF)