Kjerneregelen

Derivasjon av sammensatte funksjoner

Mange funksjoner er mer kompliserte enn dem vi har studert til nå, men ved nærmere ettersyn viser det seg ofte at de er satt sammen av enklere funksjoner. For eksempel kan funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={\left(x^3+2\right)}^4$ oppfattes som en sammensatt funksjon. Først skal en gitt x-verdi opphøyes i tredje potens og adderes til tallet 2. Vi kaller denne funksjonen for u og sier at

$u\left(x\right)=x^3+2$

er kjernefunksjonen.

Da er for eksempel

$u\left(1\right)=1^3+2=3$

Neste steg er at det resultatet som u gir, skal opphøyes i fjerde potens. Vi oppfatter også dette som en egen funksjon, og vi kaller denne funksjonen for g. Merk at denne funksjonen ikke er en funksjon av x, den er en funksjon av u, og vi får at

$g\left(u\right)=u^4$

Da er

$g\left(3\right)=3^4=81$

Den opprinnelige funksjonen f er da gitt ved

$f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)$

og vi får at

$f\left(1\right)=g\left(u\right(1\left)\right)=g(1^3+2)=g\left(3\right)=3^4=81$

Poenget er at både u gitt ved $u\left(x\right)=x^3+2$ og g gitt ved $g\left(u\right)=u^4$ er funksjoner som vi kan derivere:

$\begin{array}{rcl}u\text{'}\left(x\right)& = & 3x^2\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& 4u^3\end{array}$

Funksjonen u er derivert med hensyn på x, og funksjonen g er derivert med hensyn på u.

Eksempel 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & {\left(x^3+2\right)}^4\\ & & \\ g\left(u\right)& =& u^4 , u\left(x\right)=x^3+2\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& 4u^3 , u\text{'}\left(x\right)=3x^2\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& 4{\left(x^3+2\right)}^3·\left(3x^2\right)\\ & =& 12x^2{\left(x^3+2\right)}^3\end{array}$

Eksempel 2

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \sqrt{x-1}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \sqrt{u} , u\left(x\right)=x-1\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{u}} , u\text{'}\left(x\right)=1\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}·1\\ & =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\end{array}$

Bevis for brøkregelen

Når vi kjenner kjerneregelen, kan vi bevise brøkregelen for derivasjon. Vi setter $f\left(x\right)=\frac{u}{v}$ og skriver om til $f\left(x\right)=u·\frac{1}{v}=u·v^{-1}$.

Nå kan vi bruke produktregelen til å derivere f . Vi skriver produktregelen med funksjonene a og b for ikke å blande dem sammen med u og v.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& a·b\\ f\text{'}\left(x\right) & =& a\text{'}·b+a·b\text{'}\end{array}$

Så deriverer vi, og bruker kjerneregelen når vi deriverer $v^{-1}$:

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \stackrel{a\text{'}}{\overbrace{u\text{'}}}·\stackrel{b}{\overbrace{v^{-1}}}+\stackrel{a}{\overbrace{u}}·\stackrel{b\text{'}}{\overbrace{\left(v^{-1}\right)\text{'}}}\\ & & \\ & =& u\text{'}·\frac{1}{v}+u·\left(-1\right)·v^{-1-1}·v\text{'}\\ & & \\ & =& \frac{u\text{'}}{v}-u·v^{-2}·v\text{'}\\ & & \\ & =& \frac{u\text{'}}{v}-\frac{u·v\text{'}}{v^2}\end{array}\end{array}$

For å få lik nevner kan vi multiplisere den første brøken med v i telleren og nevneren:

$\begin{array}{ccc}f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{u\text{'}·v}{v·v}-\frac{{\displaystyle u·v\text{'}}}{{\displaystyle v^2}}\\ & =& \frac{u\text{'}·v-u·v\text{'}}{v^2}\end{array}$

Film: Kjerneregelen

I filmen under (lengde 2:54) får du en gjennomgang av eksempel 1 over.