Brøkregelen for derivasjon

Akkurat som for produktfunksjoner har vi en egen regel for å derivere brøkfunksjoner:

Den deriverte til en brøk blir en ny brøk der nevneren er kvadratet av den opprinnelige nevneren. Telleren ligner på uttrykket til den deriverte av et produkt, men forskjellen er at det står minustegn mellom leddene. Det er derfor viktig med rett rekkefølge på leddene i telleren: begynn med å derivere telleren.

Eksempel 1

Vi ønsker å derivere funksjonen f gitt ved

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\end{array}$

Det kan være lurt å skrive opp u og v og derivere dem først.

$\begin{array}{rll}u& =& x^3+2, v=x^2\\ u\text{'}& =& 3x^2, v\text{'}=2x\end{array}$

Så deriverer vi f:

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{u\text{'}·v-u·v\text{'}}{v^2}\\ & =& \frac{\stackrel{u\text{'}}{\overbrace{3x^2}}·\stackrel{v}{\overbrace{x^2}}-\stackrel{u}{\overbrace{\left(x^3+2\right)}}·\stackrel{v\text{'}}{\overbrace{2x}}}{\underset{v^2}{\underbrace{{\left(x^2\right)}^2}}}\\ & =& \frac{3x^4-2x^4-4x}{x^4}\\ & =& \frac{x^4-4x}{x^4}=\frac{x\left(x^3-4\right)}{x^4}=\frac{x^3-4}{x^3}\end{array}$

Eksempel 2

Vi ønsker å derivere funksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}$

Vi gjør det samme som i det forrige eksempelet:

$\begin{array}{cll}u& =& x+1, v=x+2\\ u\text{'}& =& 1, v\text{'}=1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& \frac{1·\left(x+2\right)-\left(x+1\right)·1}{{\left(x+2\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\end{array}$

Film: Brøkregelen ved derivasjon

I filmen under (lengde 4:21) får du en gjennomgang av eksempel 1 over.