Den deriverte til eksponentialfunksjonen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2^x+\ln 2\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 2^x·\ln 2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^5·5^x\\ f\text{'}\left(x\right) & =& \left(x^5\right)\text{'}·5^x+x^5·\left(5^x\right)\text{'}\\ & =& 5x^4·5^x+x^5·5^x\ln 5\\ & =& x^4·5^x\left(5+x\ln 5\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& e^{4x}·3=3e^{4x}\\ & & \\ g\text{'}\left(x\right) & =& 3\left(e^{4x}\right)\text{'}\\ & =& 3·4·e^{4x}\\ & =& 12e^{4x}\end{array}$

Vi bruker kjerneregelen:

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& e^{x^2} \\ u\left(x\right) & =& x^2 , u\text{'}\left(x\right)=2x\\ f\left(u\right) & =& e^u , f\text{'}\left(u\right)=e^u\\ f\text{'}\left(x\right) & =& u\text{'}\left(x\right)·f\text{'}\left(u\right)\\ & =& 2x·e^u\\ & =& 2x{e}^{x^2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x^3+4e^x-2\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 2·3x^2+4e^x\\ & =& 6x^2+4e^x\\ & & \\ f\text{'}\left(0\right) & =& 6·0^2+4e^0\\ & =& 4\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{1}{2}{e}^{2x} , u=2x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& \frac{1}{2}{e}^u·u\text{'}\\ & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·2\\ & =& e^{2x}\\ & & \\ f\text{'}\left(0\right) & =& e^{2·0}\\ & =& 1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 3e^{-\frac{x}{3}}=3e^{-\frac{1}{3}x} , u=-\frac{1}{3}x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 3e^u·u\text{'}\\ & =& 3e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}\right)\\ & =& -e^{-\frac{1}{3}x}\\ & & \\ f\text{'}\left(0\right) & =& -e^{-\frac{1}{3}·0}\\ & =& -1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 3\sqrt{x}+12e^{0,5x}= 3x^{\frac{1}{2}}+12e^{0,5x} , u=0,5x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& 3·\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+12e^u·u\text{'}\\ & =& \frac{3}{2}·\frac{1}{\sqrt{x}}+12e^{0,5x}·0,5\\ & =& \frac{3}{2\sqrt{x}}+6e^{0,5x}\end{array}$

Vi ser at $f\text{'}\left(0\right)$ ikke er definert siden vi har 0 i nevneren.

Innbyggertallet i Akersund om x år er

$i\left(x\right)=\mathrm{76 538}·{\mathrm{1,023}}^x$

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi forventer at innbyggertallet i Akersund er 96 080 om 10 år.

Vi må løse likningen $i\left(x\right)=\mathrm{100 000}$.

Det forventes at innbyggertallet i Akersund stiger til over 100 000 innbyggere om 12 år.

Den årlige økningen i innbyggertallet er det samme som den deriverte funksjonen.

Den årlige økningen er $i\text{'}\left(x\right)=\mathrm{1 740}{e}^{0,023x}$.

Vi må løse likningen $i\text{'}\left(x\right)=\mathrm{1 950}$.

Vi får at innbyggertallet øker med 1 950 per år om fem år.

Vi bruker CAS og finner $i\text{'}\left(3\right)$:

Innbyggertallet i Akersund øker med 1 863 innbyggere per år om $3$ år.