Praktiske eksempler med eksponentialfunksjoner

CC BY-NC-SA

Bilde: Johner Images, NTB scanpix

Hvis du setter $1 000$ kr i banken i dag og får $6 \%$ rente på pengene, kan du om ett år ta ut kroner

$\begin{array}{rcl}1 000+1 000·\frac{6}{100}& = & 1 000·\left(1+0,06\right)\\ & & \\ & =& 1 000·1,06\end{array}$

Etter to år kan du ta ut

$1 000·1,06+1 000·1,06·\frac{6}{100}=1 000·1,06·\left(1+0,06\right)=1 000·1,{06}^2$

Etter tre år kan du ta ut

$1 000·1,{06}^2·\left(1+0,06\right)=1 000·1,{06}^3$

Etter $x$ år kan du ta ut $1 000·1,{06}^x$.

Tallet $1,06$ kaller vi for vekstfaktoren.

Mer om vekstfaktor

Innestående beløp, $B$, er en funksjon av antall år i banken, $x$, og funksjonsuttrykket blir

$B\left(x\right)=1 000·1,{06}^x$

Funksjonen kalles en eksponentialfunksjon siden den variable opptrer som eksponent i en potens.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Grafen til funksjonen viser for eksempel at beløpet på $1 000$ kroner har vokst til $1 191$ kroner etter $3$ år og til $2 693$ kroner etter $17$ år.

Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner svaret ved å tegne den rette linja $y=2·1 000=2 000$ i samme koordinatsystem som grafen til $B$ og så finne skjæringspunktet mellom linja og grafen. Pengene må stå i banken i $12$ år.

Dette kan vi også finne ved regning.

Vi setter antall år pengene må stå i banken lik $x$ og får likningen

$1 000·1,{06}^x=2·1 000$

Dette er en eksponentiallikning.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Denne likningen løser vi ved CAS i GeoGebra

CC BY-NC-SA

Bilde: Albert Van Rosendaa

Kari kjøper en fire år gammel bil for $200 000$ kroner. Bilen har sunket i verdi med $10 \%$ hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene.

Verdien på bilen ett år etter at Kari kjøpte den blir kroner

$\begin{array}{rcl}200 000-200 000·\frac{10}{100}& = & 200 000·\left(1-\frac{10}{100}\right)\\ & & \\ & =& 200 000·0,90\end{array}$

Verdien på bilen $x$ år etter at Kari kjøpte den blir kroner $200000·0,{90}^x$

Når har verdien på bilen sunket til halvparten av det Kari betalte for den, og hva kan vi regne med at bilen kostet da den var ny?

Bilens verdi $V\left(x\right)$, $x$ antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved eksponentialfunksjonen

$V\left(x\right)=200 000·0,{90}^x$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi tegner grafen til $V$.

Vi tegner den rette linja $y=200 000·\frac{1}{2}=100 000$ og finner skjæringspunktet mellom denne og grafen til $V$. Da ser vi at bilen er verdt 100 000 kroner om cirka seks og et halvt år. Så skriver vi $\left(-4, V(-4)\right)$ i inntastingsfeltet og får et nytt punkt på grafen til $V$. Da ser vi at bilen kostet omtrent 305 000 kroner da den var ny.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Vi kan finne det samme ved regning. Husk at du ikke trenger definere funksjonen på nytt når den finnes i algebrafeltet.