Nullpunkt med manuell bruk av halveringsmetoden

Denne siden er lagd med inspirasjon fra et undervisningsopplegg av Tom Jarle Christiansen og Rune Mathisen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

På bildet ovenfor har vi brukt nullpunktsverktøyet i GeoGebra til å finne de tre nullpunktene til funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$

For nullpunktet lengst til høyre er $x=1,6$ en tilnærmet verdi. Når vi skal lage et program til å finne en tilnærmet verdi for et nullpunkt, må vi finne en måte å prøve og feile på der vi vet at vi systematisk kommer nærmere og nærmere det rette svaret.

Diskuter

Hva kjennetegner et nullpunkt sett bort ifra at $f\left(x\right)=0$ for denne verdien?

Spørsmål

Gjelder regelen ovenfor for alle nullpunkter?

Ideen her er å bruke at grafen enten ligger over $x$-aksen til høyre for nullpunktet og under grafen til venstre for nullpunktet, eller det er motsatt.

Spørsmål

Hvordan kan vi finne ut om grafen ligger over eller under $x$-aksen for en bestemt $x$-verdi?

Vi skal bruke halveringsmetoden til å gjette oss fram til nullpunktet til $f\left(x\right)$ som ligger lengst til høyre. Vi gjør det manuelt nå i første omgang.

I halveringsmetoden må vi først ha et intervall som det "rette tallet" ligger i. Her betyr det at vi må finne et intervall for $x$ som vi er sikre på at nullpunktet ligger innenfor. Dessuten må grafen til funksjonen $f\left(x\right)$ ligge over $x$-aksen for det ene endepunktet av intervallet og omvendt for det andre endepunktet.

Oppgave

Hva er et passende intervall som oppfyller kravene over til nullpunktet lengst til høyre?

Oppgave

Når vi bruker halveringsmetoden, gjetter vi alltid på den verdien som ligger midt i det aktuelle intervallet, det vi kaller midtpunktet til intervallet.

Hvilken $x$-verdi gjetter vi på når intervallet er [1.5, 2]? Hvordan kan vi regne ut denne verdien?

Spørsmål

Hvordan finner vi ut om $x=1,75$ er større eller mindre enn nullpunktet?

Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å regne ut $f\left(1,75\right)$.

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\end{array}}$ $ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(1.75\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx 0.568\end{array}}$$$$

Siden svaret på linje 2 i CAS ble 0,57, vet vi at grafen ligger over $x$-aksen når $x=1,75$. Da vet vi samtidig at vi er til høyre for nullpunktet ved denne $x$-verdien.

Spørsmål

Hva blir det nye intervallet vi skal lete etter nullpunktet i?

Spørsmål

Hva blir den nye $x$-verdien vi gjetter på?

Spørsmål

Er $x=1,625$ større eller mindre enn nullpunktet?

Oppgave

Skriv en algoritme for hvordan vi går fram når vi bruker halveringsmetoden her.

Oppgave

Til nå har vi gjort halveringsmetoden manuelt to ganger. Gjør halveringsmetoden én gang til manuelt.

Spørsmål

Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden én gang til, hva ville det nye intervallet ha vært da?

Dersom vi runder av til én desimal, får vi nå det samme resultatet for både den øvre og den nedre grensa i intervallet: 1,6. Dette stemmer med opplysningene på bildet øverst på siden der nullpunktet er oppgitt som $$ x=1,6$$. Det neste spørsmålet er: Hvor mange ganger skal vi bruke halveringsmetoden før vi er fornøyde med resultatet? Når er det bra nok? Uansett vil vi ikke gjøre dette manuelt lenger, men lage et program som kan hjelpe oss.