Oppgaver og aktiviteter

Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell

Her kan du jobbe med oppgaver som handler om den hypergeometriske sannsynlighetsfordelingen.

4.3.40

En gruppe på 4 elever består av 2 gutter og 2 jenter. Det skal trekkes ut 2 elever fra gruppen.

La guttene få bokstavene G1 og G2, og jentene J1 og J2.

a) List opp de ulike mulige kombinasjonene.

Løsning

De ulike kombinasjonene er G1G2, G1J1, G1J2, G2J1, G2J2 og J1J2.

b) Finn sannsynligheten for at det trekkes ut 2 jenter.

Løsning

Det er bare én mulighet for 2 jenter: J1J2. De seks utfallene har lik sannsynlighet, dermed får vi at:

$P (J 1 J 2) = \frac{1}{6}$

c) Finn sannsynligheten for at det trekkes ut 1 jente og 1 gutt.

Løsning

Det er fire av de seks kombinasjonene som gir én av hver:

$P (en av hver) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

d) Bruk formelen for hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og finn svarene i b) og c).

Løsning

Vi setter den stokastiske variabelen $X$ lik antall jenter.
Vi har da $n = 4, m = 2$ og $r = 2$ .

b)
$P (X = 2) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{1 \cdot 1}{6} = \frac{1}{6}$

c)
$P (X = 1) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

e) Bruk GeoGebra og finn svarene i b) og c).

Løsning

Vi velger hypergeometrisk fordeling i GeoGebra med populasjon lik 4, $n = 2$ og utvalg lik 2:

Bilde av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Det er valgt «Hypergeometrisk fordeling» med populasjon lik 4, n lik 2 og utvalg lik 2. Svaret er gitt som P parentes 2 mindre enn eller lik X parentes slutt er lik 0,1667.

f) Bruk Python og finn svarene i b) og c).

Løsning

Python

1from scipy.stats import hypergeom #importerer generatoren
2
3tojenter = hypergeom.pmf(2,4,2,2)  #legger inn stokastisk variabel, antall elever, antall jenter og antall som skal trekkes totalt
4
5print(tojenter) skriver ut sannsynligheten

Python

1from scipy.stats import hypergeom
2
3tojenter = hypergeom.pmf(1,4,2,2)
4
5print(tojenter)

Kjør programmene for å få svaret.

4.3.41

I en klasse skal det trekkes ut 4 elever til en festkomité. Klassen består av 16 jenter og 14 gutter.

a) Bestem sannsynligheten for at det blir en komité med 4 jenter.

b) Bestem sannsynligheten for at det blir en komité med 4 gutter.

c) Hvorfor er ikke svarene i a) og b) like?

d) Hva blir sannsynligheten for at det blir en komité med 2 jenter og 2 gutter?

Løsning

a) Vi legger inn i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra med populasjon lik 30, $n = 16$ og utvalg lik 4. Vi velger intervallet $4 \leq X \leq 4$ og får at sannsynligheten for 4 jenter er 0,0664.

b) Vi bruker samme fordeling, men velger nå intervallet $0 \leq X \leq 0$ og får at sannsynligheten for ingen jenter, altså 4 gutter, er 0,0365.

c) Det er flere jenter enn gutter i klassen, derfor er det mer sannsynlig å trekke bare jenter enn bare gutter.

d) Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren som i a) og b), velger intervallet $2 \leq X \leq 2$ og får at sannsynligheten for 2 av hver er 0,3985.

4.3.42

Du trekker 4 kort fra en kortstokk.

a) Hva er sannsynligheten for å trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter?

Løsning

Her må vi utvide formelen for hypergeometrisk fordeling og trekke fra en mengde med fire ulike elementer. Vi definerer hendelsen $A$ :

$A$ : Trekke én av hvert av de fire slagene.

$P (A) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 105$

Vi kan løse dette i CAS i GeoGebra slik:

Bilde av CAS-utregning i GeoGebra. Bildet viser en brøk. I teller: nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt. I nevner: nCr parentes 53,4 parentes slutt. Svaret er gitt som tilnærmet lik 0,105

b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 4 hjerter?

Løsning

Her deler vi kortstokken i to ulike elementer: hjerter og ikke hjerter. Vi får da $n = 52, m = 13, r = 4$ og $k = 4$ :

$P (A = 4) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 39 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 0026$

c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 ruter og 2 spar?

Løsning

Vi bruker hypergeometrisk fordeling med elementer av tre typer: ruter, spar og annet. Vi definerer $B$ : 2 ruter og 2 spar:

$P (B) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 022$

Du trekker 8 kort fra en kortstokk.

d) Bestem sannsynligheten for å trekke 2 spar, 2 ruter, 3 hjerter og 1 kløver.

Løsning

Her blir det som i a) fire ulike elementer. Vi definerer hendelsen $C$ :

$C$ : å trekke 2 spar, 2 ruter, 3 hjerter og 1 kløver

$P (C) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 8 \end{matrix})} \approx 0, 03$

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Tove Annette Holter.

Sist faglig oppdatert 22.01.2021

Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell

4.3.40

Python

Python

4.3.41

4.3.42

Regler for bruk