Binomisk sannsynlighetsmodell

Vi definerer den stokastiske variabelen $$ M=$$ antall mynt.
Vi finner veiene gjennom valgtreet som gir to mynt: MMK, MKM og KMM. Sannsynlighetsmodellen er uniform, så vi får:
$$ P\left(M=2\right)=\frac{3}{8}$$

Dette er det samme som å få bare mynt, altså har vi at $$ M=3$$:

$$ P\left(M=3\right)=\frac{1}{8}$$

b) Vi har her et binomisk forsøk hvor $$ n=3, k=2$$ og $$ p=0,5$$:
$$ P\left(M=2\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=3·\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$

c) Vi har det samme binomiske forsøket, men $$ k=0$$:

$$ P\left(M=0\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=1·\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$

Dette kan vi løse på flere måter. Vi velger her å bruke GeoGebra og finne hele sannsynlighetsfordelingen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

a) $$ P\left(X=2\right)=0,2907$$

b) $$ P\left(X=3\right)=0,155$$

c) $$ P\left(X=0\right)=0,1615$$

d) $$ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0,1615=0,8385$$

Vi setter den stokastiske variabelen $$ X$$ til å være antallet løk som spirer. I a) er vi ute etter $$ P\left(X\ge 30\right)$$. I b) ser vi etter $$ P\left(X\le 30\right)$$. I c) velger vi å tolke det som $$ P\left(20\le x\le 30\right)$$.

Vi setter inn i GeoGebra:

a)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

b)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

c)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

d) Her kan vi regne ut direkte: $$ P\left(X=40\right)=0,{80}^{40}\approx 0,00013$$

1from scipy.stats import binom
2
3n = 40
4p = 0.8
5X = []                     #lager en liste for antall løk som spirer
6
7for i in range(n+1):      #legger inn alle tall fra og med 0 til og med n i lista
8    X.append(i)
9
10
11spirer = binom.pmf(X,n,p)  #lager en liste med sannsynlighetene
12a = 0
13b = 0
14c = 0                      #lager plassholdere for hver av deloppgavene
15
16for i in range(31):
17    a = a + spirer[i]
18for i in range(30,41):
19    b = b + spirer[i]
20for i in range(20,31):
21    c = c + spirer[i]
22d = spirer[40]
23print(f"sannsynligheten for at minst 30 løk spirer, er {a:.4}")
24print(f"sannsynligheten for at høyst 30 løk spirer, er {b:.4}")
25print(f"sannsynligheten for at mellom 20 og 30 løk spirer, er {c:.4}")
26print(f"sannsynligheten for at alle løkene spirer, er {d:.4}")

Kjør programmet i editoren din for å se at det stemmer med svarene i 4.3.22. Husk at hvis du har lagd et annet program som virker, er det kanskje minst like bra! Dette programmet er bare et forslag.

Vi legger inn i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra med $$ n=20$$ og $$ p=0,88$$. Det gir disse svarene:

a) $$ P\left(X=20\right)=0,0776$$

b) $$ P\left(X\ge 18\right)=0,5631$$

c) $$ P\left(X\le 16\right)=0,2127$$

Ved ren gjetning blir prøven å betrakte som et binomisk forsøk. Sannsynligheten for å svare riktig på et enkeltspørsmål er $\frac{1}{4}$.

De enkelte spørsmålene besvares uavhengig av hverandre.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Sannsynligheten for å få 38 rette kan vi finne ved sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Sannsynligheten er $1,1·{10}^{-16}$.

Svaret viser at det ikke er lurt å gå opp til førerprøven uten å forberede seg.