Oppgaver og aktiviteter

Andregradslikninger

Løs oppgaver med andregradslikninger.

1.2.40

Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) $2 x^{2} - 2 x = 0$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} 2 x (x - 1) & = & 0 \\ 2 x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

(" $\lor$ " betyr "eller".)

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $f (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har $x$ -koordinater 0 og 1, som er de to løsningene på likningen.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2 x i andre minus 2 x minus 2 x er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 2. I tillegg er de to skjæringspunktene med x-aksen markert. Det ene punktet har koordinatene 0 og 0, og det andre har koordinatene 1 og 0. Illustrasjon.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2 x i andre minus 2 x er lik 0. Svaret med "Løs" er x er lik 0 eller x er lik 1. Skjermutklipp.

b) $12 x = 3 x^{2}$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl} 12 x - 3 x^{2} & = & 0 \\ 3 x (4 - x) & = & 0 \\ 3 x & = & 0 \lor 4 - x = 0 \\ x & = & 0 \lor - x = - 4 \\ x & = & 0 \lor x = 4 \end{array}$

c) $x^{2} + 7 x = - 6$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordner likningen først.

$x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Vi får at

$a = 1, b = 7, c = 6$

Dette gir

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 + 5}{2} = - 1 \lor x = \frac{- 7 - 5}{2} = - 6 \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har $x$ -koordinater $- 6$ og $- 1$ , som er løsningene på likningen.

Grafen til funksjonene f av x er lik x i andre pluss 7 x og g av x er minus 6 er tegnet for x-verdier mellom minus 7 og 0. Skjæringspunktene mellom funksjonene er markert. Det ene har koordinatene minus 6 og minus 6, og det andre har koordinatene minus 1 og minus 6. Illustrasjon.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss 7 x er lik minus 6. Svaret med "Løs" er x er lik minus 6 eller x er lik minus 1. Skjermutklipp.

d) $5 x^{2} = 25 x$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 25 x & = & 0 \\ 5 x (x - 5) & = & 0 \\ 5 x & = & 0 \lor x - 5 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 5 \end{array}$

1.2.41

Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) $x^{2} - 4 = 0$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \sqrt{4} \lor x = - \sqrt{4} \\ x & = & 2 \lor x = - 2 \end{array}$

Grafisk løsning:

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 er tegnet for x-verdier mellom minus 2,5 og 2,5. I tillegg er de to skjæringspunktene med x-aksen markert. Det ene punktet har koordinatene minus 2 og 0, og det andre har koordinatene 2 og 0. Illustrasjon.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre minus 4 er lik 0. Svaret med "Løs" er x er lik minus 2 eller x er lik 2. Skjermutklipp.

b) $x^{2} + 5 x = - 6$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + \sqrt{1}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

Grafisk løsning:

Grafen til funksjonene f av x er lik x i andre pluss 5 x og g av x er lik minus 6 er tegnet for x-verdier mellom minus 5 og 0. Skjæringspunktene mellom funksjonene er markert. Det ene har koordinatene minus 3 og minus 6, og det andre har koordinatene minus 2 og minus 6. Illustrasjon.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss 5 x er lik minus 6. Svaret med "Løs" er x er lik minus 3 eller x er lik minus 2. Skjermutklipp.

c) $3 x^{2} = 3$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 1 \\ x & = & \sqrt{1} \lor x = - \sqrt{1} \\ x_{1} & = & 1 \lor x_{2} = - 1 \end{array}$

d) $x^{2} = 2 x + 24$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \\ x & = & \frac{2 + 10}{2} = 6 \lor x = \frac{2 - 10}{2} = - 4 \end{array}$

e) $2 x^{2} + 8 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} & = & - 8 \\ x^{2} & = & - 4 \\ Ingen løsning \end{array}$

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc-formelen.

1.2.42

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) $270 x^{2} + 230 x = 540 - 40 x$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 270 x^{2} + 270 x - 540 & = & 0 : 270 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$

b) $360 x^{2} - 360 x = - 90$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 360 x^{2} - 360 x + 90 & = & 0 : 90 \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = & 0 \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{4 + 0}{8} \lor x = \frac{4 - 0}{8} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

1.2.43

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{1 + 3}{2} = 2 \lor x = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{array}$

b) $- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

c) $- 5 x = x^{2} + 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{1}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 + 1}{- 2} = - 3 \lor x = \frac{5 - 1}{- 2} = - 2 \end{array}$

1.2.44

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) $- x^{2} - 6 x - 8 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 6 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{4}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 + 2}{- 2} = - 4 \lor x = \frac{6 - 2}{- 2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} + 12 = - 12 x$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 12 x + 12 & = & 0 | : 3 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x & = & \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

c) $3 x^{2} + 2 = 2 x$

Løsning

Vi må ordne likningen først.

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.2.45

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) $0, 3 x^{2} + 0, 2 = 0, 2 x$

Løsning

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 10 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} - 0, 2 x + 0, 2 & = & 0 \cdot 10 \\ 3 x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

b) $0, 003 x^{2} + 0, 002 = 0, 002 x$

Løsning

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 1 000 før vi setter inn i abc-formelen. Husk å ordne likningen også.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 0, 003 x^{2} - 0, 002 x + 0, 002 & = & 0 \cdot 1000 \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.2.46

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x & = & \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} \lor x = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} \\ x & = & \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} \lor x = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} \\ x & = & 2 + \sqrt{2} \lor x = 2 - \sqrt{2} \end{array}$

Svaret kan stå med et rotuttrykk. Ved løsning med CAS kan vi finne tilnærmet løsning ved å trykke på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ . (Vi må ikke gjøre det.)

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre minus 4 x pluss 2 = 0. Svaret med "Løs" er x er lik minus rot 2 pluss 2 eller x er lik rot 2 pluss 2. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 0,59 eller x er lik 3,41. Skjermutklipp. — Løsning av andregradslikning med CAS og tilnærming av svaret

b) $10 x^{2} = 10 x + 4$

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 5 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{65}}{10} \\ x & = & \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \lor x = \frac{5 - \sqrt{65}}{10} \end{array}$

c) $x (x - 2) + 2 = 4 - 4 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x + 2 - 4 + 4 x & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ x & = & \frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2} \lor x = \frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{2} \\ x & = & \sqrt{3} - 1 \lor x = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

d) $4 - x (2 - x) = 3 (x - 1) + 2 x^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 - 2 x + x^{2} & = & 3 x - 3 + 2 x^{2} \\ x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x + 4 + 3 & = & 0 \\ - x^{2} - 5 x + 7 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 + 28}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{53}}{- 2} \\ x & = & - \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \lor x = - \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}$

e) $4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x = 3 (x + 1) - 2 x^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 11 x & = & 3 x + 3 - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 11 x - 3 x - 3 & = & 0 \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 12}{16} = - \frac{3}{4} \lor x = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.2.47

a) Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 4 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

Tips til oppgaven

Kall bredden $x$ . Finn deretter en formel for lengden.

Løsning

Dersom vi kaller bredden for $x$ , blir lengden, som er 4 m lengre, $x + 4$ .

Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 96 m².

$x (x + 4) = 96$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x multiplisert med parentes x pluss 4 parentes slutt er lik 96. Svaret med "Løs" er x er lik minus 12 eller x er lik 8. Skjermutklipp.

Her bruker vi bare den positive løsningen. Lengden blir

$8 + 4 = 12$

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x + 4) & = & 96 \\ x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm 20}{2} \\ x & = & 8 \lor x = - 12 \end{array}$

b) Løs oppgaven på nytt, men ta utgangspunkt i at lengden er $x$ . Kommenter løsningen.

Løsning

Når $x$ står for lengden, betyr det at bredden er $x - 4$ . Dette gir likningen

$x (x - 4) = 96$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x multiplisert med parentes x minus 4 parentes slutt er lik 96. Svaret med "Løs" er x er lik minus 8 eller x er lik 12. Skjermutklipp.

Igjen bruker vi bare den positive løsningen. Lengden er altså 12 m, og bredden blir som før

$12 - 4 = 8$

Det spiller altså liten rolle om vi velger at $x$ skal være bredden eller lengden. Vi får en annen likning å løse, men resultatet er det samme.

1.2.48

Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 5 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

Løsning

Dersom vi kaller lengden for $x$ , blir uttrykket for bredden $x - 5$ . Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 126 m².

$x (x - 5) = 126$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x multiplisert med parentes x minus 5 parentes slutt er lik 126. Svaret med "Løs" er x er lik minus 9 eller x er lik 14. Skjermutklipp.

Her bruker vi bare den positive løsningen. Bredden blir

$14 - 5 = 9$

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x - 5) & = & 126 \\ x^{2} - 5 x - 126 & = & 0 \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 126)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 23}{2} \\ x & = & 14 \lor x = - 9 \end{array}$

1.2.49

Grunnflata til en garasje er et rektangel der bredden er 2 meter kortere enn lengden. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut hvor lang og hvor bred garasjen er.

Tips til oppgaven

Tegn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på tegningen.

Løsning

Rektangel med lengde lik x pluss 2, bredde lik x og diagonal lik 10. Illustrasjon. — Skisse av grunnflata til garasjen med diagonalen inntegnet

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at $x$ står for bredden av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen:

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 10^{2}$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss parentes x pluss 2 parentes slutt i andre er lik 10 i andre. Svaret med "Løs" er x er lik minus 8 eller x er lik 6. Skjermutklipp.

Vi bruker bare den positive løsningen. Lengden blir

$6 + 2 = 8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 2)}^{2} & = & 10^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - 100 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 for å få enklere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 48 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 14}{2} \\ x_{1} & = & 6 \lor x_{2} = - 8 \end{array}$

1.2.50

Ei tomt er et rektangel der bredden er 10 meter kortere enn lengden. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.

Løsning

Rektangel med lengde lik x pluss 10, bredde lik x og diagonal lik 50. Illustrasjon. — Skisse av grunnflata til tomta med diagonalen inntegnet

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at $x$ står for bredden av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen

$x^{2} + {(x + 10)}^{2} = 45^{2}$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss parentes x pluss 10 parentes slutt i andre er lik 45 i andre. Svaret med "Løs" er x er lik to store rotuttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 36,42 eller x er lik 26,42. Skjermutklipp.

Vi får at den eksakte løsningen på likningen blir to uttrykk med kvadratrot. Da trykker vi på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ for å få regnet ut svaret som desimaltall.

Vi kan bare bruke den positive løsningen. Det betyr at bredden av tomta er 26,42 m og lengden er 36,42 m. I linje tre regner vi ut arealet av tomta, og vi har tatt med måleenhetene i utregningen.

Arealet av tomta er 962 m².

1.2.51

a) Gitt andregradslikningen $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Finn ut hvilke verdier av $a$ som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning av likningen.

Tips til oppgaven

Bruk abc-formelen.

Løsning

Vi har en andregradslikning der $a$ er ukjent, $b = - 4$ og $c = 4$ . Vi setter dette inn i abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 4}}{2 \cdot a} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 a}}{2 a} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $16 - 16 a$ .

Dersom $a > 1$ , vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom $a = 1$ , vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, $x = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$ .

Dersom $a < 1$ , vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

b) Bruk GeoGebra, og lag en glider med navn $a$ ved å skrive $a = 1$ i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen $f (x) = a \cdot x^{2} - 4 x + 4$ . Endre på glideren, og observer hvordan grafen til $f$ endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave a)?

c) Gitt andregradslikningen $x^{2} - b x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen, og finn ut hvilke verdier av $b$ som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

Løsning

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- b) \pm \sqrt{{(- b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 16}}{2} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $b^{2} - 16$ .

Dersom $b^{2} < 16$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når $b$ ligger mellom $- 4$ og $4$ .

Dersom $b^{2} = 16$ , det vil si når $b = 4$ eller $b = - 4$ , vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.

$b = - 4 : x = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$

$b = 4 : x = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2 .$

Dersom $b^{2} > 16$ , det vil si når $b > 4$ eller $b < - 4$ , vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

d) Bruk GeoGebra. Lag en glider $b$ , og skriv inn funksjonen $g (x) = x^{2} - b x + 4 = 0$ . Endre på glideren, og observer hvordan grafen til $g$ endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave c)?

e) Gjør tilsvarende analyse med andregradslikningen $x^{2} + 2 x + c = 0$ .

Løsning

Likningen har én løsning når $c = 1$ .

Likningen har to løsninger når $c < 1$ .

Likningen har ingen løsning når $c > 1$ .

1.2.52

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekunder er høyden $h$ meter over bakken gitt ved funksjonen

$h (t) = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Når er ballen 10 m over bakken?

Løsning

Når høyden er 10 m, betyr det at $h (t) = 10$ . Vi skriver inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løser likningen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet h av t kolon er lik 14,5 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8. Svaret er h av t kolon er lik minus 49 tidels t i andre pluss 29 halve t pluss 9 femtedeler. På linje 2 er det skrevet h av t er lik 10. Svaret med "Løs" er t er lik to store rotuttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er t er lik 0,76 eller t er lik 2,2. Skjermutklipp.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

b) Når treffer ballen bakken?

Løsning

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Det betyr at vi må løse likningen $h (t) = 0$ .

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 4 er det skrevet h av t er lik 0. Svaret med "Løs" er t er lik to store rotuttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 5 er det skrevet dollartegn 4. Svaret med tilnærming er t er lik minus 0,12 eller t er lik 3,08. Skjermutklipp.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får?

Løsning

Når høyden er 15 m, betyr det at $h (t) = 15$ .

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 6 er det skrevet h av t er lik 15. Svaret med "Løs" er ingenting. Skjermutklipp.

Ingen løsning. Det må bety at ballen aldri når en høyde på 15 m over bakken.

1.2.53

Det er vist hvordan en sylinder så å si kan brettes ut til et rektangel og en sirkel. Illustrasjon.

En brusboks har form som en sylinder. Overflata til en sylinder med topp og bunn er gitt ved

$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$

der $r$ er radien til sylinderen og $h$ er høyden.

Hva er radius til en brusboks dersom overflata er $250 {cm}^{2}$ og høyden $5 cm$ ?

Løsning

Når høyden skal være 5 cm, kan vi lage oss følgende overflatefunksjon:

$O (r) = 2 π r^{2} + 10 π r$

Når overflata skal være 250 cm², betyr det at vi må løse likningen

$O (r) = 250$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet O av r kolon er lik 2 pi r i andre pluss 10 pi r. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet O av r er lik 250. Svaret med "Løs" er r er lik to store rotuttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er r er lik minus 9,29 eller r er lik 4,29. Skjermutklipp.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 02.06.2021

Andregradslikninger

1.2.40

1.2.41

1.2.42

1.2.43

1.2.44

1.2.45

1.2.46

1.2.47

1.2.48

1.2.49

1.2.50

1.2.51

1.2.52

1.2.53

Regler for bruk