Andregradslikninger

En likning som kan skrives på formen  $$ a{x}^2+bx+c=0 \mathrm{der} a\ne 0$$, kalles en andregradslikning.

Et eksempel på en andregradslikning er $x^2+4x-5=0$.

$x^2$ kalles andregradsleddet og $a=1$.
$4x$ kalles førstegradsleddet og $b=4$.
$-5$ kalles konstantleddet og $c=-5$.

Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene $a, b$ og $c$ er.

Andregradslikningen

$3-x=\frac{-7x^2}{2}$

kan ordnes til likningen

$\begin{array}{rcl} 6-2x& = & -7x^2\\ 7x^2 -2x+6& =& 0\end{array}$

Her ser vi at $a=7, b=-2 \mathrm{og} c=6$.

En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at $b$ og/eller $c$ kan være lik $0$. Først skal vi vise hvordan vi relativt enkelt kan løse en andregradslikning som mangler en av disse to leddene.

Når konstantleddet $$ c$$ mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere ved å sette $$ x$$ utenfor parentes. Faktoren $x$ forekommer nemlig i begge leddene. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Eksempel

$$ \begin{array}{rclll}{x}^2-2x& = & 0& & \\ & & & & \\ x\left(x-2\right)& =& 0& & \\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x-2=0& & (\vee = \mathrm{eller})\\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x=2& & \\ & & & & \end{array}$$

Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Oppgave

Forklar hvorfor  $$ x\left(x-2\right)$$  i løsningen over er et produkt.

Vi ordner likningen slik at $x^2$ isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratrota.

Eksempel

$\begin{array}{rcl}-2x^2+18& = & 0\\ & & \\ -2x^2& =& -18\\ & & \\ x^2& =& 9\\ & & \\ x& =& \sqrt{9} \vee x=-\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-3\end{array}$

Hvis høyresida blir null etter at likningen er ordnet, får vi bare én løsning, nemlig $x=0$. Hvis høyresida blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.

Andregradslikningen  $$ x^2-x-6=0$$  kan ikke løses med regneteknikkene vi har brukt ovenfor. Vi kan selvfølgelig løse denne likningen grafisk eller med CAS. Her viser vi hvordan vi kan bruke den såkalte abc-formelen for å regne ut løsningene.

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen $a{x}^2+bx+c=0$.

Oppgave

Hvorfor har vi skrevet at  $$ b^2-4ac\ge 0$$?

Oppgave

Forklar hvorfor vi bare får én løsning når  $$ $ b^2-4ac=0$$$.

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1

$\begin{array}{rcl} x^2& = & 5-4x\\ & & \\ x^2+4x-5& =& 0 \mathrm{Vi} \mathrm{ordner} \mathrm{likningen} \mathrm{og} \begin{array}{rcl}& & \mathrm{finner}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \mathrm{at}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & a\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 1\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & c\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & 5\end{array}\begin{array}{rcl}& & .\end{array}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1} \mathrm{Vi} \mathrm{setter} \mathrm{inn} \mathrm{i} \mathrm{formelen}.\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4+6}{2} \mathrm{eller} x=\frac{-4-6}{2}\\ & & \\ x& =& 1 \mathrm{eller} x=-5\end{array}$

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for $x$ som passer i den opprinnelige likningen.

Eksempel 2

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm 0}{2}=-2\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning.

Eksempel 3

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{4-16}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{-12}}{2}\\ & & \\ & & \mathrm{Ingen} \mathrm{løsning}\end{array}$

Vi får $-12$ under rottegnet, og $\sqrt{-12}$ er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løsningene nedenfor ved å bruke knappen $\boxed{\underset{}{\overset{}{\mathrm{x}}}=}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Legg merke til markeringen for "ingen løsning" i linje 3.