Fagstoff

Likningssett av første og andre grad

Hvordan løser vi likningssett der den ene likningen er av første grad og den andre likningen av andre grad?

Eksempel på likningssett

Vi har gitt likningssettet

$[\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 x - y^{2} = 8 \\ 2 x - y = - 2 \end{matrix}]$

Når vi løser likningssett med to likninger av første grad, kan vi bruke innsettingsmetoden. Vil denne metoden fungere på et likningssett der vi har én eller begge de ukjente i andre potens slik som i den første likningen her? Ved behov kan du repetere innsettingsmetoden i artikkelen "Likningssett", se nedenfor.

Relatert innhold

Likningssett

Vi ser på hvordan vi kan løse likningsett med to ukjente størrelser.

Løsning ved regning for hånd

Prøv å løse likningssettet over ved regning for hånd og ved å bruke innsettingsmetoden.

Tips til oppgaven

Det lureste er ofte å finne et uttrykk for den ene ukjente ved hjelp av førstegradslikningen og så sette dette uttrykket inn i andregradslikningen.

Løsning, første steg

Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for $y$ :

$\begin{array}{rcl} 2 x - y & = & - 2 \\ - y & = & - 2 - 2 x \\ y & = & 2 x + 2 \end{array}$

Løsning, andre steg

Vi setter så uttrykket for $y$ inn i den andre likningen i (andregradslikningen) i stedet for $y$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 2 x - y^{2} & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - {(2 x + 2)}^{2} & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - (4 x^{2} + 8 x + 4) & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - 4 x^{2} - 8 x - 4 & = & 8 \\ - 2 x^{2} - 10 x - 12 & = & 0 : - 2 \\ x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \end{array}$

Legg merke til at vi her dividerer med $- 2$ i den siste linja for å få greiere tall å arbeide med når vi skal bruke abc-formelen.

Løsning, siste steg

Vi bruker abc-formelen til å løse denne likningen.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 \pm 1}{2} \\ x & = & - 2 \lor x = - 3 \end{array}$

Vi setter så disse løsningene inn i uttrykket for $y$ .

$\begin{array}{rcl} y & = & 2 x + 2 \\ y & = & 2 \cdot (- 2) + 2 \lor y = 2 \cdot (- 3) + 2 \\ y & = & - 2 \lor y = - 4 \end{array}$

Likningssettet har to sett med løsninger:

$x = - 2 \land y = - 2 \lor x = - 3 \land y = - 4$

Dette leser vi som "x er lik minus 2, og y er lik minus 2, eller x er lik minus tre, og y er lik minus 4". Den ene $x$ -verdien hører sammen med den ene $y$ -verdien, og det er tilsvarende for den andre $x$ -verdien.

Grafisk løsning

Løs likningssettet grafisk.

Løsning

Vi skriver inn de to likningene i algebrafeltet i GeoGebra, og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafen til likningen 2 x i andre minus 2 x minus y i andre er lik 8 og likningen 2 x minus y er lik minus 2 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 5 til 7 og y-aksen går fra minus 6 til 1. De to skjæringspunktene mellom grafene er markert. Det ene har koordinatene minus 3 og minus 4 mens det andre har koordinatene minus 2 og minus 2. Illustrasjon. — Løsning av likningsett med to ukjente der den ene likningen er av andre grad

Grafen til den første likningen (l1 på figuren over) består av to deler, mens den andre, som er stiplet på figuren over, er ei rett linje. Løsningen er koordinatene til skjæringspunktene, noe som stemmer med det vi fant i oppgave 2.

Løsning med CAS

Løs likningssettet med CAS.

Løsning

CAS-utregning med Geogebra. På linje 1 er det skrevet 2 x i andre minus 2 x minus y i andre er lik 8. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 2 x minus y er lik minus 2. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løs" er sløyfeparentes x er lik minus 2 og y er lik minus 2 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes x er lik minus 3 og y er lik minus 4 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Vi skriver inn likningene på hver sin linje, markerer linjene og trykker på knappen $x_{}^{} =$ . Vi får samme løsning som før.

Alternativt kan vi bruke "Løs" som kommando:

Løs({2x²-2x-y²=8, 2x-y=-2})

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 03.06.2021