Lineære ulikheter
Hva er en ulikhet?
En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten
Ulikheten leses som " er mindre enn ".
Vi har fire ulikhetssymboler: , som betyr "mindre enn", , som betyr "større enn", , som betyr "mindre enn eller lik", og , som betyr "større enn eller lik".
Merk at "gapet" alltid peker mot det største tallet.
En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse.
Et eksempel er ulikheten
Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier kan ha for at ulikheten skal være sann. Eksempel: Hvilke verdier av
Løsning av ulikheter ved regning for hånd
Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsippene vi brukte for å løse likninger.
Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden
.5 < 9 , så er 5 + 3 < 9 + 3 Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden
.9 > 5 , så er 9 - 3 > 5 - 3 Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden
.9 > 5 , så er 9 · 3 > 5 · 3 Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden
.9 > 6 , så er 9 3 > 6 3
Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?
Vi ser på ei tallinje.
Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet
Utforsking
Hva skjer hvis du multipliserer begge sider av ulikheten med det negative tallet
Løsning
Vi multipliserer begge tallene (begge sidene i ulikheten) med det negative tallet
Vi har altså måttet snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.
På samme måte kan du ta utgangspunkt i to hvilke som helst ulike tall og multiplisere dem eller dividere dem med samme negative tallet. Du vil se at du alltid må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.
Dette betyr at de reglene vi har for å løse likninger av første grad (lineære likninger) også kan brukes til å løse lineære ulikheter med den forskjell at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.
- Vi kan addere og subtrahere med det samme tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
- Vi kan multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
- Vi må snu ulikhetstegnet hvis vi dividerer eller multipliserer med et negativt tall på begge sider av ulikhetstegnet.
Eksempel
Vi løser ulikheten
For alle verdier av
Grafisk løsning av ulikheter
Vi bruker eksempelet over. Vi kan se på det som står på hver side av ulikhetstegnet i en ulikhet som en funksjon av
Da kan vi skrive ulikheten som
Funksjonene kan vi tegne enten for hånd eller med GeoGebra. I GeoGebra skriver vi inn funksjonene i algebrafeltet.
I dette tilfellet får vi to rette linjer der grafen til
Oppgave
Studer grafene. Oppgaven spør etter når funksjonen
Løsning
Vi må finne for hvilke
Alternativ grafisk løsning
Vi kan også få fram et grafisk bilde av løsningen av ulikheten ved å skrive hele ulikheten inn i algebrafeltet. Da setter GeoGebra farge på den delen av grafikkfeltet som er løsning av ulikheten, nemlig det området der
Løsning med CAS
Ved CAS i GeoGebra skriver vi inn ulikheten og trykker på knappen
Løs(2x+3>4x+9)