Lineære ulikheter

En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten

$3<8$

Ulikheten leses som "$3$ er mindre enn $8$".

Vi har fire ulikhetssymboler: $<$, som betyr "mindre enn", $>$, som betyr "større enn", $\le$, som betyr "mindre enn eller lik", og $\ge$, som betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peker mot det største tallet.

En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven $x$ for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse.

Et eksempel er ulikheten

$x+3\ge 8$

Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier $$ x$$ kan ha for at ulikheten skal være sann. Eksempel: Hvilke verdier av $x$ i ulikheten ovenfor gjør at $x+3$ blir lik eller større enn $8$?

Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsippene vi brukte for å løse likninger.

• Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

  Siden $5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$.

• Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$.

• Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$.

• Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

  Siden $9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på ei tallinje.

Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet $4$ ligger til høyre for tallet $2$ og er dermed større enn $2$.

$4>2$

Utforsking

Hva skjer hvis du multipliserer begge sider av ulikheten med det negative tallet $$ -1$$?

Dette betyr at de reglene vi har for å løse likninger av første grad (lineære likninger) også kan brukes til å løse lineære ulikheter med den forskjell at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Eksempel

Vi løser ulikheten  $$ 2x+3<4x+9$$.

$$ \begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 \mathrm{Vi} \mathrm{subtraherer} 4x \mathrm{og} 3 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider}.\\ & & \\ 2x+3-4x-3& <& 4x+9-4x-3 \mathrm{Vi} \mathrm{trekker} \mathrm{sammen} \mathrm{like} \mathrm{ledd}.\\ & & \\ -2x& <& 6 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} -2 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider} \\ & & \mathrm{og} \mathrm{snur} \mathrm{ulikhetstegnet}.\\ x& >& -3\end{array}$$

For alle verdier av $x$ større enn $-3$ er ulikheten sann. Prøv for eksempel å sette inn 0 i den opprinnelige ulikheten. Prøv så å sette inn $$ -4$$.

Vi bruker eksempelet over. Vi kan se på det som står på hver side av ulikhetstegnet i en ulikhet som en funksjon av $$ x$$. Vi kan kalle funksjonene $$ f$$ og $$ g$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x+3\\ g\left(x\right) & =& 4x+9\end{array}$$

Da kan vi skrive ulikheten som

$$ f\left(x\right)<g\left(x\right)$$

Funksjonene kan vi tegne enten for hånd eller med GeoGebra. I GeoGebra skriver vi inn funksjonene i algebrafeltet.

I dette tilfellet får vi to rette linjer der grafen til $$ f$$ er heltrukken mens grafen til $$ g$$ er stiplet. Vi har også tegnet inn skjæringspunktet mellom grafene. Se figuren.

Oppgave

Studer grafene. Oppgaven spør etter når funksjonen $$ f$$ er mindre enn funksjonen $$ g$$. Hvordan ser vi hva som er løsningen på ulikheten?

Vi kan også få fram et grafisk bilde av løsningen av ulikheten ved å skrive hele ulikheten inn i algebrafeltet. Da setter GeoGebra farge på den delen av grafikkfeltet som er løsning av ulikheten, nemlig det området der  $$ x>-3$$, se bildet.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi inn ulikheten og trykker på knappen $$ $ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$$. Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løs":

Løs(2x+3>4x+9)