Lineære ulikskapar

Ein ulikskap består av eit ulikskapssymbol med eit tal eller uttrykk på kvar side av symbolet. Eit døme er ulikskapen

$3<8$

Ulikskapen blir lesen som "$3$ er mindre enn $8$".

Vi har fire ulikskapssymbol: $<$, som betyr "mindre enn", $>$, som betyr "større enn", $\le$, som betyr "mindre enn eller lik", og $\ge$, som betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peiker mot det største talet.

Ein ulikskap inneheld gjerne ein eller fleire ukjende storleikar symboliserte med bokstavar. Det er vanleg å bruke bokstaven $x$ for den ukjende når ulikskapen har éin ukjend storleik.

Eit døme er ulikskapen

$x+3\ge 8$

Å løyse ein ulikskap går ut på å finne kva verdiar $$ x$$ kan ha for at ulikskapen skal vere sann. Døme: Kva verdiar av $x$ i ulikskapen ovanfor gjer at $x+3$ blir lik eller større enn $8$?

Langt på veg kan vi løyse ulikskapar etter dei same prinsippa vi brukte for å løyse likningar.

• Dersom vi adderer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $$ 5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$$.

• Dersom vi subtraherer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $$ 9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$$.

• Dersom vi multipliserer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $$ 9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$$.

• Dersom vi dividerer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

  Sidan $$ 9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det same positive talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Kva så viss vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal på begge sider i ein ulikskap?

Vi ser på ei tallinje.

Dersom vi vel to ulike tal, veit vi at det talet som ligg lengst til høgre, er det største. Talet $4$ ligg til høgre for talet $2$ og er dermed større enn $2$.

$4>2$

Utforsking

Kva skjer dersom du multipliserer begge sider av ulikskapen med det negative talet $$ -1$$?

Dette betyr at dei reglane vi har for å løyse likningar av første grad (lineære likningar) òg kan brukast til å løyse lineære ulikskapar med den skilnaden at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal.

Døme

Vi løyser ulikskapen  $$ 2x+3<4x+9$$.

$$ \begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 \mathrm{Vi} \mathrm{subtraherer} 4x \mathrm{og} 3 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider}.\\ & & \\ 2x+3-4x-3& <& 4x+9-4x-3 \mathrm{Vi} \mathrm{trekkjer} \mathrm{saman} \mathrm{like} \mathrm{ledd}.\\ & & \\ -2x& <& 6 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} -2 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider} \\ & & \mathrm{og} \mathrm{snur} \mathrm{ulikskapsteiknet}.\\ x& >& -3\end{array}$$

For alle verdiar av $x$ større enn $-3$ er ulikskapen sann. Prøv til dømes å setje inn 0 i den opphavlege ulikskapen. Prøv så å setje inn $$ -4$$.

Vi bruker dømet over. Vi kan sjå på det som står på kvar side av ulikskapsteiknet i ein ulikskap som ein funksjon av $$ x$$. Vi kan kalle funksjonane $$ f$$ og $$ g$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x+3\\ g\left(x\right) & =& 4x+9\end{array}$$

Då kan vi skrive ulikskapen som

$$ f\left(x\right)<g\left(x\right)$$

Funksjonane kan vi teikne anten for hand eller med GeoGebra. I GeoGebra skriv vi inn funksjonane i algebrafeltet.

I dette tilfellet får vi to rette linjer der grafen til $$ f$$ er heiltrekt mens grafen til $$ g$$ er stipla. Vi har òg teikna inn skjeringspunktet mellom grafane. Sjå figuren.

Oppgåve

Studer grafane. Oppgåva spør etter når funksjonen $$ f$$ er mindre enn funksjonen $$ g$$. Korleis ser vi kva som er løysinga på ulikskapen?

Vi kan òg få fram eit grafisk bilete av løysinga av ulikskapen ved å skrive heile ulikskapen inn i algebrafeltet. Då set GeoGebra farge på den delen av grafikkfeltet som er løysing av ulikskapen, nemleg det området der  $$ x>-3$$, sjå biletet.

Ved CAS i GeoGebra skriv vi inn ulikskapen og trykkjer på knappen $$ $ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$$. Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løys":

Løys(2x+3>4x+9)