Oppgåve

Lineære ulikskapar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med ulike framgangsmåtar.

1.3.1

Løys ulikskapane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) $x - 3 < 5$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x - 3 + 3 & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunktet har $x$ -koordinaten 8.

Grafen til funksjonane f av x er lik x minus 3 og g av x er lik 5 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 2 og 10. Grafane er to rette linjer som har eit skjeringspunkt. Skjeringspunktet har koordinatane 8 og 5. Grafen til f ligg under grafen til g til venstre for skjeringspunktet. Illustrasjon.

Ulikskapen spør etter når grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . Dette er oppfylt på venstre side av skjeringspunktet, det vil seie når $x < 8$ .

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x minus 3 mindre enn 5. Svaret med "Løys" er x mindre enn 8. Skjermutklipp.

b) $2 x + 1 > 3$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x + 1 - 1 & > & 3 - 1 \\ \frac{2 x}{2} & > & \frac{2}{2} \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - 4 - x + 4 & < & x - 4 - x + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

1.3.2

Løys ulikskapane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) $3 x - 5 < 5$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x - 5 + 5 & < & 5 + 5 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{10}{3} \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 3 - 2 x + 3 & < & 2 x - 6 - 2 x + 3 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{- 3}{3} \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ 6 - 5 x & \geq & 6 - 6 x \\ 6 - 5 x + 6 x - 6 & \geq & 6 - 6 x + 6 x - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunktet har $x$ -koordinaten 0.

Grafen til funksjonane f av x er lik 6 minus 5 x og g av x er lik 6 multiplisert med parentes 1 minus x parentes slutt er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 0,5 og 2. Grafane er to rette linjer som har eit skjeringspunkt. Skjeringspunktet har koordinatane 0 og 6. Grafen til f ligg over grafen til g til høgre for skjeringspunktet. Illustrasjon.

Ulikskapen spør etter når grafen til $f$ ligg over grafen til $g$ , og når dei skjer kvarandre. Dette er oppfylt i skjeringspunktet og på høgre side av skjeringspunktet, det vil seie når $x \geq 0$ .

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 6 minus 5 x større eller lik 6 multiplisert med parentes 1 minus x parentes slutt. Svaret med "Løys" er x større enn eller lik 0. Skjermutklipp.

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 3 & \leq & 2 x + 12 \\ x - 3 - 2 x + 3 & \leq & 2 x + 12 - 2 x + 3 \\ - x & \leq & 15 Vi dividerer på (- 1) \\ og snur ulikskapsteiknet . \\ x & \geq & - 15 \end{array}$

1.3.3

Løys ulikskapane ved rekning for hand. Kontroller svara med CAS.

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 15 - 5 x + 15 & < & 5 x - 10 - 5 x + 15 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & > & \frac{5}{- 2} Vi dividerer på (- 2) \\ og snur ulikskapsteiknet . \\ x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 3 - 2 x + 3 & < & 2 x - 6 - 2 x + 3 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{- 3}{3} \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ 1 - x - x - 1 & \geq & 1 + x - x - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 Vi dividerer på (- 2) \\ og snur ulikskapsteiknet . \\ x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

Løys òg ulikskapen grafisk.

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 - 6 x + 9 & < & 6 x - 9 - 6 x + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn $0$ . Det betyr at ulikskapen ikkje har løysing.

Dette kan vi sjå allereie i linje 2 i løysinga. Kvifor? Sjå svar nedst nede i løysingsboksen.

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Dei to grafane ligg oppå kvarandre; dei er ein og same graf. Verktøyet "Skjering mellom to objekt" gir inga løysing.

Grafen til funksjonane f av x er lik 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt og g av x er lik 6 x minus 3 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 1 og 2. Grafane er to rette linjer som ligg oppå kvarandre. Dei er ein og same graf. Illustrasjon. — Grafisk løysing av ulikskap der dei to grafane er samanfallande

Ulikskapen spør etter når grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . Det gjer han aldri fordi grafane ligg oppå kvarandre. Ulikskapen har derfor inga løysing.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt mindre enn 6 x minus 9. Svaret med "Løys" er ingenting. Skjermutklipp. — Løysing av ulikskap med CAS der ulikskapen har inga løysing

Svar på spørsmålet lengre opp i løysingsboksen:

Vi kan sjå dette i linje 2 fordi det som står på venstre side er heilt likt det som står på høgre side. Då kan ikkje det som står på venstre side vere mindre enn det som står på høgre side.

e) Kva blir løysinga på ulikskapen i oppgåve d) dersom vi byter ut teiknet $<$ i ulikskapen med $\leq$ ?

Løysing

Det betyr at ulikskapen òg spør etter når venstre side er lik høgre side. Det fann vi ut at ho alltid er, så då er alle moglege tal løysing på ulikskapen. Matematisk kan vi, dersom vi vil, skrive dette som

$x \in ℝ$

der $\in$ står for "... element i ...", og $ℝ$ står for "alle reelle tal".

f) Kva andre ulikskapsteikn kan ulikskapen i d) ha for at han skal ha inga løysing?

Løysing

Sidan venstresida av ulikskapen alltid er lik høgresida, kan vi byte ut teiknet $<$ med teiknet $>$ og framleis ha inga løysing. Dersom vi prøver å byte ut med teiknet $\geq$ , kan dei to sidene vere lik kvarandre, og vi får igjen alle moglege $x$ -verdiar som løysing slik som i oppgåve e).

1.3.4

Løys ulikskapane ved rekning for hand. Kontroller svara med CAS.

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x - 6 + 6 & \leq & - 9 + 6 \\ \frac{2 x}{2} & \leq & \frac{- 3}{2} \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

Løys òg ulikskapen grafisk.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - \frac{9}{2} & < & 3 x + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & \frac{18}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn $9$ . Det betyr at ulikskapen er gyldig for alle moglege $x$ . Vi kan skrive løysinga som

$x \in ℝ$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Dei to grafane er parallelle, rette linjer og grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . Verktøyet "Skjering mellom to objekt" gir inga løysing.

Grafen til funksjonane f av x er lik 3 todelar multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt og g av x er lik 9 multiplisert med parentes x tredjedelar pluss ein halv parentes slutt er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 2 og 4. Grafane er to parallelle, rette linjer. Grafen til f ligg under grafen til g. Illustrasjon. — Grafisk løysing av ulikskap der dei to grafane er parallelle, rette linjer

Ulikskapen spør etter når grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . Det gjer han alltid fordi grafane er parallelle. Løysinga er derfor alle moglege $x$ -verdiar, som vi fann over.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 3 halve multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt mindre enn 9 multiplisert med parentes x halve pluss 1 halv parentes slutt. Svaret med "Løys" er x er lik x. Skjermutklipp. — Løysing av ulikskap med CAS der løysinga er alle reelle tal

e) Kva blir løysinga på ulikskapen i oppgåve d) dersom vi byter ut teiknet $<$ i ulikskapen med teiknet $\leq$ ?

Løysing

Om vi byter ut "mindre enn" i ulikskapen med "mindre enn eller lik", vil framleis alle moglege $x$ -verdiar vere løysing av ulikskapen sidan dette bytet ikkje lagar fleire avgrensingar.

f) Kva ulikskapsteikn må ulikskapen i d) ha for at han skal ha inga løysing?

Løysing

Sidan vi har at venstresida av ulikskapen alltid er mindre enn høgresida, kan vi byte ut teiknet $<$ med både $>$ og $\geq$ for å få inga løysing på ulikskapen.

1.3.5

Per skal ha sommarjobb som jordbærplukkar. Han har valet mellom to ulike lønnsavtalar.

1) Han kan få ei fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for kvar korg han plukkar.

2) Han kan få 5 kroner for kvar korg han plukkar, men då får han ikkje noka fast timelønn.

Still opp ein ulikskap, og finn ut kor mange korger Per må plukke i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Løysing

Vi lèt $x$ vere talet på korger Per plukkar og set opp uttrykk for kvar av dei to lønnsavtalane.

1) $50 + 2 x$

2) $5 x$

Vi ønskjer å finne ut når avtale 2 er større enn avtale 1. Vi får då ulikskapen

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 5 x - 2 x & > & 50 + 2 x - 2 x \\ \frac{3 x}{3} & > & \frac{50}{3} \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 korger i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

1.3.6

Kari og familien skal på tur. Dei vil leige bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leigebiltilbod og funne fram til to aktuelle.

1) Leigebilen kostar 700 kroner per døgn, med fri køyrelengde opp til 500 kilometer. Over det skal det betalast 5 kroner per kilometer.

2) Leigebilen kostar 1 500 kroner per døgn. Køyrelengda er inkludert.

Still opp ein ulikskap, og finn ut kor mange kilometer dei må køyre for at tilbod 2 skal lønne seg.

Løysing

Det er klart at dersom køyrelengda er mindre enn eller lik 500 kilometer, lønner tilbod 1 seg fordi det har lågare døgnpris. Køyrelengda må altså vere høgare enn 500 kilometer for at tilbod 2 skal lønne seg. Vi kan derfor la $x$ vere talet på kilometer dei køyrer over 500 kilometer og bruke det til å setje opp uttrykk for dei to tilboda.

Tilbod 1: $700 \cdot 5 + 5 x$

Tilbod 2: $1500 \cdot 5$

Vi ønskjer å finne ut når tilbod 2 lønner seg. Det betyr her at tilbod 2 skal gi den lågaste kostnaden.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1 500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ 7 500 & < & 3 500 + 5 x \\ 7 500 - 5 x - 7 500 & < & 3 500 + 5 x - 5 x - 7 500 \\ \frac{- 5 x}{- 5} & > & \frac{- 4 000}{- 5} \\ x & > & 800 \end{array}$

Det betyr at dei må køyre meir enn

$800 km + 500 km = 1300 km$

for at tilbod 2 skal lønne seg. (Hugs at $x$ står for talet på kilometer over 500.)

Ulikskapar

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6