Fagstoff

Ulikheter av andre grad

Hvordan løser vi ulikheter av andre grad?

Vi skal løse ulikheten

$x^{2} < 5 x - 4$

Her kan vi ikke bruke de vanlige metodene vi bruker når vi løser ulikheter av første grad.

Utforsking av ulikheten

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side, ikke ulikt slik vi gjør med andregradslikninger.

$x^{2} - 5 x + 4 < 0$

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 5 x pluss 4 er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 7. To punkter på grafen er markert. Det ene har koordinatene 1 og 0, mens det andre har koordinatene 4 og 0. Illustrasjon. — Grafisk løsning av ordnet ulikhet av andre grad ved hjelp av nullpunktene

Denne ulikheten har den samme løsningen som den øverste. Vi starter med å løse den ordnede ulikheten grafisk. Vi setter $f (x)$ lik uttrykket på venstre side og tegner grafen til funksjonen i GeoGebra. Den ordnede ulikheten spør etter når uttrykket på venstre side er mindre enn null. Grafisk betyr det når grafen til $f$ ligger under $x$ -aksen. Vi finner nullpunktene til funksjonen med verktøyet "Nullpunkt". Fra GeoGebra får vi at nullpunktene er

$x = 1 \lor x = 4$

Grafen ligger under $x$ -aksen når $x$ er mellom disse to verdiene. Løsningen på ulikheten kan vi derfor skrive som

$1 < x < 4$

Dette svaret er også en ulikhet, en dobbel ulikhet, som sier at $x$ skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4. Vi kan også skrive løsningen som

$x \in 〈 1, 4 〉$

Skrivemåten betyr "x er element i intervallet ⟨1, 4⟩", altså at $x$ er med i intervallet fra 1 til 4.

Hvorfor er ikke tallene 1 og 4 med i løsningen?

Løsning

Hvis vi setter inn 1 eller 4 i den ordnede ulikheten, blir det null på venstre side, og null er ikke mindre enn null, det er lik null.

Løsning ved regning for hånd

Hvordan skal vi så gjøre dette ved regning for hånd uten å tegne grafen? Vi kan i hvert fall starte med å finne ut når uttrykket på venstre side av den ordna ulikheten er lik null ved å løse andregradslikningen

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Vi bruker abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 3}{2} \\ x & = & 4 \lor x = 1 \end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ er lik 0 når $x = 1$ og når $x = 4$ .

Problemet er at vi vet ikke om uttrykket er større eller mindre enn null når vi for eksempel er mellom nullpunktene. Det vi kan gjøre, er å teste uttrykket ved å sette inn $x$ -verdier på hver side av nullpunktene og se om vi får et svar som er større eller mindre enn null. Vi bruker da at grafen til en slik funksjon bare kan skifte fortegn i nullpunktene, noe som gjelder for alle polynomfunksjoner slik som vi har her.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle $x$ -verdier i hvert av de tre intervallene $⟨ \leftarrow, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ . Vi tester uttrykket for $x$ -verdiene 0, 2 og 5, som ligger i hvert sitt intervall.

For $x = 0$ får vi

$0^{2} - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0$ (Uttrykket er positivt.)

For $x = 2$ får vi

$2^{2} - 5 \cdot 2 + 4 = - 2 < 0$ (Uttrykket er negativt.)

For $x = 5$ får vi

$5^{2} - 5 \cdot 5 + 4 = 4 > 0$ (Uttrykket er positivt.)

Hvorfor vet vi nå at løsningen på ulikhetene er $x$ -verdiene mellom 1 og 4?

Løsning

Vi vet at for $x = 2$ er uttrykket på venstre side av den ordnede ulikheten mindre enn null. Da må uttrykket være mindre enn null i hele området rundt $x = 2$ inntil det er null. Det kan ikke plutselig bli positivt uten at det går veien om et nullpunkt, og det er ikke noe nullpunkt mellom 1 og 4.

Nå har vi det vi trenger for å skrive opp løsningen. Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x^{2} < 5 x - 4$ . Det er det samme som å finne ut når $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ . Da er løsningen

$x \in ⟨ 1, 4 ⟩$

som vi fant tidligere.

I løsningen testet vi med $x$ -verdier på hver side av nullpunktene for å avgjøre i hvilket intervall / hvilke intervaller løsningen ligger. Kunne vi ha brukt kjente egenskaper ved andregradsfunksjonen til å finne ut det samme uten å teste?

Tips til oppgaven

Se på andregradsleddet.

Løsning

Fortegnet til andregradsleddet avgjør om grafen til uttrykket ser ut som et smilefjes eller et surt fjes. I eksempelet vårt er andregradsleddet positivt, som betyr at grafen er smilende. Da vet vi at grafen har et bunnpunkt, og da må grafen ligge under $x$ -aksen mellom de to nullpunktene.

Løsning med CAS

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen $x_{}^{} =$ . Da vil det se ut som vist nedenfor.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre mindre enn 5 x minus 4. Svaret med "Løs" er 1 mindre enn x mindre enn 4. Skjermutklipp.

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()":

Løs(x^2<5x-4)

Grafisk løsning

Vi løser ulikheten grafisk på den samme måten som vi gjorde med lineære ulikheter.

Beskriv gangen i framgangsmåten for å løse ulikheten i dette eksempelet.

Løsning

Vi setter venstresida av ulikheten lik funksjonen $f$ og høyresida lik funksjonen $g$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} \\ g (x) & = & 5 x - 4 \end{array}$

Så tegner vi grafen til de to funksjonene og finner for hvilke $x$ -verdier grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . (Hvorfor gjør vi ikke motsatt?)

Gjennomfør den grafiske løsningen.

Løsning

Vi velger å gjøre det med GeoGebra. Vi skriver inn funksjonene i algebrafeltet og finner skjæringspunktene mellom de to grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafen til funksjonene f av x er lik x i andre og g av x er lik 5 x minus 4 er tegnet for x-verdier mellom minus 0,5 og 5. De to skjæringspunktene mellom grafene er tegnet. Det ene har koordinatene 1 og 1, og det andre har koordinatene 4 og 16. Grafen til f ligger under grafen til g mellom skjæringspunktene. Illustrasjon. — Grafisk løsning av andregradsulikhet

Ulikheten spør etter hvor grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ , som er når $1 < x < 4$ , som vi har sett tidligere.

Et siste spørsmål: Hva er forskjellen på den grafiske løsningen her og det vi gjorde grafisk lengre opp på sida under overskriften "Utforsking av ulikheten"?

Løsning

Øverst på sida hadde vi ordnet ulikheten slik at det sto null på høyre side. Nederst har vi brukt ulikheten slik den er.