Fagstoff

Ulikskapar av andre grad

Korleis løyser vi ulikskapar av andre grad?

Vi skal løyse ulikskapen

$x^{2} < 5 x - 4$

Her kan vi ikkje bruke dei vanlege metodane vi bruker når vi løyser ulikskapar av første grad.

Utforsking av ulikskapen

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får null på høgre side, ikkje ulikt slik vi gjer med andregradslikningar.

$x^{2} - 5 x + 4 < 0$

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 5 x pluss 4 er teikna for x-verdiar mellom minus 2 og 7. To punkt på grafen er markerte. Det eine har koordinatane 1 og 0, mens det andre har koordinatane 4 og 0. Illustrasjon. — Grafisk løysing av ordna ulikskap av andre grad ved hjelp av nullpunkta

Denne ulikskapen har den same løysinga som den øvste. Vi startar med å løyse den ordna ulikskapen grafisk. Vi set $f (x)$ lik uttrykket på venstre side og teiknar grafen til funksjonen i GeoGebra. Den ordna ulikskapen spør etter når uttrykket på venstre side er mindre enn null. Grafisk betyr det når grafen til $f$ ligg under $x$ -aksen. Vi finn nullpunkta til funksjonen med verktøyet "Nullpunkt". Frå GeoGebra får vi at nullpunkta er

$x = 1 \lor x = 4$

Grafen ligg under $x$ -aksen når $x$ er mellom desse to verdiane. Løysinga på ulikskapen kan vi derfor skrive som

$1 < x < 4$

Dette svaret er òg ein ulikskap, ein dobbel ulikskap, som seier at $x$ skal vere større enn 1 og samtidig mindre enn 4. Vi kan òg skrive løysinga som

$x \in 〈 1, 4 〉$

Skrivemåten betyr "x er element i intervallet ⟨1, 4⟩", altså at $x$ er med i intervallet frå 1 til 4.

Kvifor er ikkje tala 1 og 4 med i løysinga?

Løysing

Dersom vi set inn 1 eller 4 i den ordna ulikskapen, blir det null på venstre side, og null er ikkje mindre enn null, det er lik null.

Løysing ved rekning for hand

Korleis skal vi så gjere dette ved rekning for hand utan å teikne grafen? Vi kan i alle fall starte med å finne ut når uttrykket på venstre side av den ordna ulikskapen er lik null ved å løyse andregradslikninga

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Vi bruker abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 3}{2} \\ x & = & 4 \lor x = 1 \end{array}$

Vi veit no at uttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ er lik 0 når $x = 1$ og når $x = 4$ .

Problemet er at vi veit ikkje om uttrykket er større eller mindre enn null når vi til dømes er mellom nullpunkta. Det vi kan gjere, er å teste uttrykket ved å setje inn $x$ -verdiar på kvar side av nullpunkta og sjå om vi får eit svar som er større eller mindre enn null. Vi bruker då at grafen til ein slik funksjon berre kan skifte forteikn i nullpunkta, noko som gjeld for alle polynomfunksjonar slik som vi har her.

Det betyr at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle $x$ -verdiar i kvart av dei tre intervalla $⟨ \leftarrow, 1 ⟩, ⟨ 1, 4 ⟩$ og $⟨ 4, \to ⟩$ . Vi testar uttrykket for $x$ -verdiane 0, 2 og 5, som ligg i kvart sitt intervall.

For $x = 0$ får vi

$0^{2} - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0$ (Uttrykket er positivt.)

For $x = 2$ får vi

$2^{2} - 5 \cdot 2 + 4 = - 2 < 0$ (Uttrykket er negativt.)

For $x = 5$ får vi

$5^{2} - 5 \cdot 5 + 4 = 4 > 0$ (Uttrykket er positivt.)

Kvifor veit vi no at løysinga på ulikskapane er $x$ -verdiane mellom 1 og 4?

Løysing

Vi veit at for $x = 2$ er uttrykket på venstre side av den ordna ulikskapen mindre enn null. Då må uttrykket vere mindre enn null i heile området rundt $x = 2$ inntil det er null. Det kan ikkje plutseleg bli positivt utan at det går vegen om eit nullpunkt, og det er ikkje noko nullpunkt mellom 1 og 4.

No har vi det vi treng for å skrive opp løysinga. Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av $x$ det stemde at $x^{2} < 5 x - 4$ . Det er det same som å finne ut når $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ . Då er løysinga

$x \in ⟨ 1, 4 ⟩$

som vi fann tidlegare.

I løysinga testa vi med $x$ -verdiar på kvar side av nullpunkta for å avgjere i kva intervall løysinga ligg. Kunne vi ha brukt kjende eigenskapar ved andregradsfunksjonen til å finne ut det same utan å teste?

Tips til oppgåva

Sjå på andregradsleddet.

Løysing

Forteiknet til andregradsleddet avgjer om grafen til uttrykket ser ut som eit smilefjes eller eit surt fjes. I dømet vårt er andregradsleddet positivt, som betyr at grafen er smilande. Då veit vi at grafen har eit botnpunkt, og då må grafen liggje under $x$ -aksen mellom dei to nullpunkta.

Løysing med CAS

Ved CAS i GeoGebra skriv vi den opphavlege ulikskapen rett inn og bruker knappen $x_{}^{} =$ . Då vil det sjå ut som vist nedanfor.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre mindre enn 5 x minus 4. Svaret med "Løys" er 1 mindre enn x mindre enn 4. Skjermutklipp.

Vi ser at GeoGebra skriv svaret som ein dobbel ulikskap.

Vi kan òg skrive ulikskapen inn i kommandoen "Løys()":

Løys(x^2<5x-4)

Grafisk løysing

Vi løyser ulikskapen grafisk på den same måten som vi gjorde med lineære ulikskapar.

Beskriv gangen i framgangsmåten for å løyse ulikskapen i dette dømet.

Løysing

Vi set venstresida av ulikskapen lik funksjonen $f$ og høgresida lik funksjonen $g$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} \\ g (x) & = & 5 x - 4 \end{array}$

Så teiknar vi grafen til dei to funksjonane og finn for kva $x$ -verdiar grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . (Kvifor gjer vi ikkje motsett?)

Gjennomfør den grafiske løysinga.

Løysing

Vi vel å gjere det med GeoGebra. Vi skriv inn funksjonane i algebrafeltet og finn skjeringspunkta mellom dei to grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafen til funksjonane f av x er lik x i andre og g av x er lik 5 x minus 4 er teikna for x-verdiar mellom minus 0,5 og 5. De to skjeringspunkta mellom grafane er teikna. Det eine har koordinatane 1 og 1, og det andre har koordinatane 4 og 16. Grafen til f ligg under grafen til g mellom skjeringspunkta. Illustrasjon. — Grafisk løysing av andregradsulikskap

Ulikskapen spør etter kvar grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ , som er når $1 < x < 4$ , som vi har sett tidlegare.

Eit siste spørsmål: Kva er skilnaden på den grafiske løysinga her og det vi gjorde grafisk lengre opp på sida under overskrifta "Utforsking av ulikskapen"?

Løysing

Øvst på sida hadde vi ordna ulikskapen slik at det stod null på høgre side. Nedst nede har vi brukt ulikskapen slik han er.